Nombres complexes (6/6)

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Module/argument de ${(z\!-\!b)/(z\!-\!a)}$

P. Alignement ou orthogonalité

Soient

{A,B,M}

trois points distincts du plan complexe, d'affixes respectives

{a,b,z}

. Avec ces notations :

{\left|{\dfrac{z-a}{z-b}}\right|=\dfrac{AM}{BM}\;\text{et}\;\arg\Bigl({\dfrac{z-a}{z-b}}\Bigr)=\bigl(\widehat{\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM}}\bigr)~[2\pi]}

R. Interprétation de |(z-a)/(z-b)|=k

Si ${k=1}$ , c'est la médiatrice ${\Delta}$ de ${[A;B]}$ .
Si ${0\lt k\lt 1}$ , c'est un cercle centré sur ${(AB)}$ et contenu dans le demi-plan défini par ${\Delta}$ et ${A}$ .
Si ${k>1}$ , c'est un cercle centré sur ${(AB)}$ et contenu dans le demi-plan défini par ${\Delta}$ et ${B}$ .

Voici une illustration graphique :

R. Interprétation de arg((z-a)/(z-b))=θ [π]

Si ${\theta=0~[\pi]}$ c'est la droite ${(AB)}$ privée de ${A}$ et ${B}$ .
Si ${\theta\ne 0~[\pi]}$ , c'est un cercle centré sur la médiatrice du segment ${[A;B]}$ , privé de ${A}$ et ${B}$ .
Si ${\theta= \dfrac{\pi}{2}~[\pi]}$ , c'est le cercle de diamètre ${[A;B]}$ , privé de ${A}$ et ${B}$ .
Les cercles définis par ${\theta}$ et ${-\theta}$ sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite ${(AB)}$ .

Voici une illustration graphique :

E. Exercices conseillés

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