On trouvera ici les énoncés+corrigés des épreuves écrites de mathématiques (2022 à 2026) posées aux concours des écoles scientifiques (X, ENS, MINES, CENTRALE, INP, etc.) dans la filière MP/MPI.
Classement par année
Année 2022 (énoncés et corrigés)
Survolez 💬 devant le titre pour une description.
- Volumes et sous-espaces orientés d’un espace euclidien.
Étude des matrices de Gram et des formes multilinéaires alternées, puis construction d’un produit scalaire sur ces formes.
Application à la représentation des sous-espaces orientés et à leur connexité par arcs. Polytechnique – ENS, maths A - Développement de la cotangente en série de fractions et calcul de valeurs de la fonction zêta.
Applications arithmétiques et probabilistes au PGCD d’entiers tirés au hasard et à la probabilité qu’ils soient premiers entre eux.
Outils : séries de fonctions, dénombrement et passage à la limite. Polytechnique – ENS, maths B - Séries formelles complexes : opérations, composition, séries majorantes et inversion.
Étude de la linéarisation par changement de variable, d’abord formelle, puis convergente dans les cas hyperbolique et elliptique.
Contrôle des coefficients et des rayons de convergence. Écoles normales supérieures, maths C - Nombre de partitions d’un entier et formule asymptotique de Hardy et Ramanujan.
Étude d’une fonction génératrice, estimations de sommes et contrôle de fonctions caractéristiques.
Une approximation gaussienne permet d’obtenir un équivalent du nombre de partitions. Concours Mines-Ponts, maths 1 - Exponentielles de matrices et formule de Trotter–Kato.
Étude du crochet de Lie et premières propriétés des algèbres de Lie.
Analyse du comportement asymptotique des trajectoires définies par une exponentielle, en fonction du spectre et des composantes nilpotentes. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Algèbre linéaire symplectique : formes bilinéaires, matrices et applications symplectiques.
Calcul du déterminant d’une matrice symplectique réelle.
Étude des contraintes imposées aux plongements linéaires d’une boule dans un cylindre, avec une comparaison de leurs rayons. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Dérivation des sommes de séries de fonctions, dans les cadres déterministe et aléatoire.
Inégalités d’interpolation des dérivées, théorème de dérivation et convergence des séries de Rademacher.
Les derniers résultats combinent le contrôle des dérivées avec des hypothèses de convergence probabiliste. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Un exercice sur la loi géométrique et le nombre d’essais nécessaires pour retrouver un code.
Le problème étudie la convergence et le calcul des intégrales de Fresnel, puis leur utilisation pour déterminer le comportement asymptotique d’une série de fonctions. Concours commun INP, maths 1 - Déterminant de Vandermonde et exponentielle matricielle.
Le problème porte sur les matrices symétriques positives, leur exponentielle et le produit de Hadamard.
Étude de la conservation de la positivité par le produit coefficient par coefficient et par l’exponentielle appliquée aux coefficients. Concours commun INP, maths 2 - Quatre exercices : fonction Gamma ; maximum de tirages indépendants dans des urnes ; optimisation d’une forme quadratique sur une boule ; réduction et inversion de matrices circulantes.
Outils : intégrales, probabilités, inégalité de Cauchy–Schwarz, valeurs propres et racines de l’unité. Concours commun E3A Mp - Intégrales gaussiennes à paramètre et étude d’une série de fonctions.
Établissement d’une formule sommatoire de Poisson, puis application au comportement d’une série entière dont les exposants sont des carrés.
Convergence, dérivation sous l’intégrale et développements asymptotiques. EPITA, mathématiques - Recherche du point du plan minimisant la somme des distances à des points donnés.
Existence et unicité du minimum, calcul du gradient et localisation dans un polygone convexe.
Application à une configuration triangulaire, avec distinction selon les angles. EPITA, option - Un exercice de calcul d’intégrales faisant intervenir un paramètre complexe et le cosinus.
Le problème étudie une série entière de somme égale au quotient de x par le logarithme de 1+x : coefficients, rayon de convergence et comportement aux bornes. Concours National Maroc, maths 1 - Construction d’une base orthonormée d’un hyperplan.
Le problème caractérise les morphismes de l’algèbre des matrices complexes : chacun est une conjugaison par une matrice inversible.
Outils : matrices élémentaires, réduction, bases et propriétés des morphismes d’algèbres. Concours National Maroc, maths 2
Année 2023 (énoncés et corrigés)
Survolez 💬 devant le titre pour une description.
- Quaternions et classification d’algèbres réelles.
Étude des automorphismes des quaternions et de leur lien avec les rotations, puis des normes euclidiennes et des algèbres munies d’une norme multiplicative.
Le problème aboutit à une classification faisant intervenir les réels, les complexes et les quaternions. Polytechnique – ENS, maths A - Diagonalisation de matrices symétriques dépendant analytiquement d’un paramètre réel.
Étude des opérations sur les séries entières, puis factorisation de polynômes à coefficients analytiques.
Construction locale d’une base orthonormée de vecteurs propres dépendant analytiquement du paramètre. Polytechnique – ENS, maths B - Existence de solutions d’équations différentielles et étude d’inclusions différentielles.
Après des exemples, un théorème de compacité fondé sur l’équicontinuité permet de construire des solutions d’un problème de Cauchy.
La dernière partie étudie des trajectoires dont la vitesse appartient à un ensemble prescrit. Écoles normales supérieures, maths C - Anneaux engendrés par un nombre fini d’éléments et matrices sur un anneau commutatif.
Étude des morphismes, des déterminants et de l’équivalence de matrices sur les entiers et les complexes.
Application à une borne optimale sur la dimension d’un espace de matrices de rang borné. Écoles normales supérieures, maths D - Démonstration d’un théorème de stabilité de Liapounov pour un système différentiel.
Étude d’une norme d’opérateur, puis de la stabilité d’un système linéaire à partir de son spectre.
Construction d’une forme quadratique permettant d’établir la convergence exponentielle vers un équilibre du système non linéaire. Concours Mines-Ponts, maths 1 - Étude de la fonction de Wallis définie par une intégrale à paramètre.
Calcul d’une somme de série, recherche d’équivalents, développement en série entière et convergence de suites de fonctions.
La dernière partie caractérise la fonction par une relation fonctionnelle et la convexité de son logarithme. Concours Mines-Ponts, maths 2 - 💬 Concours Centrale-Supélec, maths 1
- 💬 Concours Centrale-Supélec, maths 2
- Deux exercices sur le calcul matriciel en Python, les graphes et les extrema d’une fonction de deux variables.
Le problème établit la formule des compléments pour la fonction Gamma à partir d’intégrales et de séries.
Application au calcul de l’intégrale de Gauss. Concours commun INP, maths 1 - Deux exercices sur un produit scalaire polynomial et le maximum de deux variables suivant une loi géométrique.
Le problème étudie les projecteurs associés à un endomorphisme.
Outils : décomposition des noyaux, polynômes d’endomorphismes et caractérisation de la diagonalisabilité. Concours commun INP, maths 2 - Quatre exercices : réduction d’un endomorphisme polynomial ; étude d’une intégrale à paramètre ; opérateur de moyenne sur des fonctions continues ; matrices aléatoires construites à partir de variables de Bernoulli.
Outils : valeurs propres, convergence dominée, séries, projecteurs et calcul de probabilités. Concours commun E3A Mp - Séries de Fourier et théorème de Dirichlet.
Construction des sommes partielles par projection sur les polynômes trigonométriques, puis étude de leur convergence.
Calcul de l’intégrale de Dirichlet et application d’un développement en série de Fourier à la sommation d’une série numérique. EPITA, mathématiques - Convergence de la suite des puissances d’une matrice.
Étude d’exemples, puis recherche de conditions nécessaires et suffisantes à partir des valeurs propres et des sous-espaces caractéristiques.
Lorsque la suite converge, sa limite est décrite comme un projecteur. EPITA, option - Un exercice sur les extrema d’une fonction de deux variables.
Le problème utilise les équations différentielles pour étudier des intégrales à paramètre et des séries de fonctions.
Représentation intégrale des solutions, cas périodique et calcul de l’intégrale de Dirichlet. Concours National Maroc, maths 1 - Un exercice calcule la probabilité qu’une matrice aléatoire soit diagonalisable.
Le problème établit la décomposition polaire d’une matrice réelle, puis l’utilise pour calculer sa distance au groupe orthogonal.
Outils : matrices symétriques positives, théorème spectral et norme euclidienne sur les matrices. Concours National Maroc, maths 2
Année 2024 (énoncés et corrigés)
Survolez 💬 devant le titre pour une description.
- Deux parties indépendantes consacrées aux permutations et aux diviseurs premiers des entiers.
Dénombrement des dérangements, étude de leur signature et des points fixes.
Estimation du nombre de diviseurs premiers distincts d’un entier, avec un résultat asymptotique valable en dehors d’un ensemble de densité nulle. Polytechnique – ENS, maths A - Équations différentielles linéaires à coefficients périodiques.
Étude d’une équation du second ordre, d’un résultat d’inversion locale et des logarithmes de matrices complexes inversibles.
Construction d’une forme normale pour les systèmes périodiques et recherche de solutions périodiques, avec ou sans second membre. Polytechnique – ENS, maths B - Lemme de Cesàro, théorème d’Abel et réciproques partielles.
Étude des liens entre convergence d’une suite, convergence de ses moyennes et comportement d’une série entière au bord de son disque de convergence.
Variantes continues utilisant les intégrales impropres et la transformation de Laplace. Écoles normales supérieures, maths C - Indépendance linéaire sur les rationnels des exponentielles de rationnels distincts.
Démonstration d’un cas particulier du théorème d’Hermite-Lindemann-Weierstrass.
Outils : séries entières, fractions rationnelles, opérateurs différentiels et arithmétique des coefficients.
La dernière partie étudie les fonctions E. Écoles normales supérieures, maths D - Calcul d’une intégrale de Dirichlet généralisée et application aux probabilités.
Étude d’une intégrale à paramètre, puis obtention d’une expression de la fonction sinus.
Application au calcul de l’espérance de la valeur absolue d’une somme de variables indépendantes prenant les valeurs moins un et un. Concours Mines-Ponts, maths 1 - Phénomènes de seuil dans les graphes aléatoires.
Étude des propriétés algébriques des matrices d’adjacence, puis de l’apparition d’arêtes et de copies d’un graphe fixé.
Outils : dénombrement, variables de Bernoulli, espérance, variance et inégalités probabilistes. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Inégalité de Carleman pour les moyennes géométriques d’une suite positive sommable.
Trois parties : analogue intégral de Knopp, démonstration par calcul différentiel et raffinement de Carleman-Yang.
Outils : convexité, inégalité de Jensen, inégalité arithmético-géométrique et séries entières. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Résolution d’une équation aux différences finies.
Étude de l’opérateur différence sur les polynômes, puis des fonctions entières et des polynômes de Bernoulli.
Construction de solutions polynomiales et d’une solution entière à l’aide de séries et d’estimations de coefficients. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Deux exercices sur le maximum de tirages dans une urne et les solutions d’une équation différentielle.
Le problème propose deux méthodes de calcul de la somme des inverses des carrés des entiers.
Outils : séries entières, intégration terme à terme et intégrales à paramètre. Concours commun INP, maths 1 - Deux exercices sur la diagonalisation appliquée aux suites récurrentes et la manipulation de permutations en Python.
Le problème étudie les matrices symétriques définies positives.
Caractérisation spectrale, démonstration du critère de Sylvester et application à des matrices tridiagonales. Concours commun INP, maths 2 - Quatre exercices : transformation d’une variable de loi géométrique ; série entière à coefficients trigonométriques ; réduction et puissances d’une matrice ; produit de convolution.
Outils : probabilités, séries, interpolation de Lagrange, normes d’opérateurs et continuité uniforme. Concours commun E3A Mp - Quatre exercices portant sur un opérateur intégral utilisant l’arctangente, les polynômes complexes et un produit scalaire hermitien, des variables aléatoires et leurs fonctions génératrices, puis les matrices équitables.
Outils : intégrales à paramètre, récurrences, réduction et dénombrement. Concours commun E3A Mpi - Calcul d’intégrales impropres, puis étude de fonctions gaussiennes et d’une variable aléatoire à densité.
Le problème introduit le produit de convolution et une transformée intégrale.
Étude des moments et du comportement asymptotique des transformées de convolutions successives. Concours National Maroc, maths 1 - Un exercice d’extremum utilisant le calcul matriciel.
Le problème étudie les noyaux itérés, les endomorphismes nilpotents et leur réduction.
Construction de bases adaptées et détermination de la dimension maximale d’un sous-espace vectoriel constitué de matrices réelles nilpotentes. Concours National Maroc, maths 2
Année 2025 (énoncés et corrigés)
Survolez 💬 devant le titre pour une description.
- Décomposition des endomorphismes nilpotents et classification de couples de matrices rectangulaires.
Étude des polynômes de Laurent, des prolongements compatibles et d’une version graduée du théorème de décomposition.
Construction de bases adaptées et réduction des matrices en blocs. Polytechnique – ENS, maths A - Interpolation polynomiale, polynômes orthogonaux et fonctions de type positif sur une sphère.
Étude des zéros avec multiplicité, de formules de quadrature et d’une fonction génératrice.
Application à la construction de matrices positives à partir de produits scalaires. Polytechnique – ENS, maths B - Fonctions d’un grand nombre de variables aléatoires.
Deux parties consacrées à l’amplitude d’une somme et à la concentration de combinaisons de variables aléatoires.
Étude de bornes probabilistes contrôlant les fluctuations et les écarts aux valeurs moyennes. Écoles normales supérieures, maths C - Dénombrement des points entiers dans les polytopes.
Étude des partitions d’entiers, des sommets, des triangulations et du polytope de Birkhoff.
Les développements de fractions rationnelles conduisent au théorème de Brion, puis au théorème d’Ehrhart et au dénombrement de matrices à sommes de lignes et colonnes fixées. Écoles normales supérieures, maths D - Inégalités de Khintchine pour les sommes pondérées de variables de Rademacher.
Démonstration de l’inégalité de Hölder et d’une inégalité de déviation, puis comparaison des moments.
Applications à des comparaisons de normes sur des sous-espaces vectoriels. Concours Mines-Ponts, maths 1 - Critère de Schur-Cohn et généralisation au cas non inversible.
Étude des racines d’un polynôme à l’aide de son polynôme réciproque et d’une matrice symétrique associée.
Le problème relie le dénombrement des racines à la signature de formes quadratiques et au spectre de matrices. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Démonstration de l’irrationalité de la somme des inverses des carrés des entiers.
Encadrement du nombre de nombres premiers, majoration du PPCM des premiers entiers et critère d’irrationalité.
Une intégrale double permet de construire les approximations nécessaires.
Application à l’irrationalité de pi. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Modèles probabilistes de ferromagnétisme.
Étude du spectre des matrices d’interaction pour les modèles de Curie-Weiss, sinus et d’Ising en une ou deux dimensions.
Analyse de la magnétisation spontanée et de sa convergence, puis convergence en loi au point critique du modèle de Curie-Weiss. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Deux exercices sur la connexité de l’image d’une dérivée et la minimisation d’une fonction de deux variables.
Le problème étudie la comparaison entre une série et une intégrale.
Démonstration du théorème et construction de contre-exemples lorsque certaines hypothèses sont supprimées. Concours commun INP, maths 1 - Un exercice de programmation sur les graphes orientés et un exercice sur les polynômes de Tchebychev.
Le problème étudie les matrices de rang un : puissances, trace, valeurs propres et réduction.
Classification de ces matrices à similitude près. Concours commun INP, maths 2 - Deux exercices sur l’inégalité arithmético-géométrique et ses applications matricielles, puis sur les polynômes de Tchebychev.
Le problème étudie les matrices de rang un : puissances, trace, valeurs propres et réduction.
Classification de ces matrices à similitude près. Concours commun INP, maths 2, MPI - Trois exercices indépendants : minimisation d’une norme sous contrainte affine ; étude d’un endomorphisme lié aux racines de l’unité ; analyse d’une fonction définie par une série entière.
Outils : projection orthogonale, réduction, séries et inégalités. Concours commun E3A Mp - Trois exercices indépendants : extrema d’une somme d’exponentielles ; noyau, image et éléments propres d’un endomorphisme polynomial ; comportement asymptotique d’une série entière.
Outils : calcul différentiel, division euclidienne, dénombrement et comparaison de coefficients. Concours commun E3A Mpi - Trois exercices indépendants : résolution d’une équation fonctionnelle à l’aide d’une série de fonctions ; étude probabiliste d’un jeu de pile ou face ; recherche de racines carrées de matrices.
Outils : convergence, probabilités, diagonalisation et matrices symétriques positives. EPITA, mathématiques - Propriétés topologiques des classes de similitude de matrices.
Après le cas des matrices d’ordre deux, le problème caractérise les classes bornées et les classes fermées sur les complexes.
Il établit également que toute classe de similitude est d’intérieur vide. EPITA, option - Un exercice sur la continuité d’une intégrale à paramètre.
Le problème combine séries géométriques, équations différentielles et représentations intégrales pour calculer l’intégrale de Dirichlet.
Applications au calcul d’autres intégrales trigonométriques impropres. Concours National Maroc, maths 1 - Un exercice de calcul matriciel, puis un problème consacré à la trace.
Étude de semi-normes invariantes par échange des facteurs d’un produit.
Caractérisation des matrices symétriques positives à l’aide de la trace et des matrices orthogonales. Concours National Maroc, maths 2
Année 2026 (énoncés et corrigés)
Survolez 💬 devant le titre pour une description.
- Normes matricielles et polynômes de matrices complexes.
Quatre parties : principe du maximum, inégalité de von Neumann, Hausdorffien et rayon numérique, cas particuliers de la conjecture de Crouzeix.
Outils : matrices hermitiennes et unitaires, réduction, interpolation polynomiale et calcul par blocs. Polytechnique – ENS, maths A - Répartition asymptotique des valeurs propres de matrices.
Étude de matrices tridiagonales, sommes de Riemann et théorème d’approximation de Weierstrass.
Application aux matrices aléatoires symétriques et à la loi du demi-cercle, par les moments et la convergence en probabilité. Polytechnique – ENS, maths B - Inégalités variationnelles et optimisation convexe en dimension finie.
Projection sur un convexe fermé, théorème du minimax de von Neumann, convergence des itérations de Krasnoselskii–Mann, théorème de Baillon–Haddad et descente de gradient.
Outils : convexité, points fixes et calcul différentiel. Écoles normales supérieures, maths C - Approximations probabilistes et inégalités de concentration.
Méthode de Chen–Stein pour l’approximation par une loi de Poisson, variables indépendantes ou dépendantes et espérance conditionnelle.
Applications aux sommes de variables, aux permutations aléatoires et à la magnétisation du modèle de Curie–Weiss. Écoles normales supérieures, maths D - Calcul variationnel : lemme fondamental et équation d’Euler-Lagrange.
Applications à la recherche du chemin le plus court, à la courbe brachistochrone et aux surfaces de révolution d’aire minimale.
Les courbes et surfaces obtenues sont la droite, la cycloïde et la caténoïde. Concours Mines-Ponts, maths 1 - Groupes orthogonal et spécial linéaire : compacité, connexité par arcs et calcul différentiel.
Étude des morphismes continus du cercle dans les matrices inversibles, puis représentation par exponentielles matricielles et blocs de rotations.
Réduction réelle et complexe, matrices antisymétriques et nilpotentes. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Sous-groupes de matrices inversibles : groupes orthogonaux finis, sous-groupes compacts et croissance du groupe de Heisenberg discret.
Outils : rotations, symétries, trace, matrices définies positives, compacité et log-concavité du déterminant. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Fonction zêta et prolongement au domaine complexe.
Transformée de Mellin de fonctions définies par la partie entière, produits scalaires et distances à des sous-espaces.
Le sujet établit une condition géométrique suffisante de non-annulation de zêta dans un demi-plan. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Deux exercices sur les requêtes SQL et les fonctions génératrices de variables aléatoires, avec application aux lois de Poisson.
Le problème porte sur une intégrale à paramètre, une formule sommatoire de Poisson et le calcul d’une série de fonctions périodique par ses coefficients de Fourier. Concours commun INP, maths 1 - Deux exercices sur les puissances de matrices, les polynômes minimaux, les matrices circulantes et les racines de l’unité.
Le problème étudie la projection orthogonale sur un espace de polynômes, les polynômes de Laguerre et une identité de Parseval pour des fonctions exponentielles. Concours commun INP, maths 2 - Trois exercices : translation et différences finies sur les polynômes ; intégrales à paramètre et séries liées à la fonction zêta ; étude du logarithme de la fonction génératrice des moments d’une variable aléatoire finie.
Réduction, convergence, développements limités et probabilités. Concours commun E3A Mp - Trois exercices : minimisation du nombre moyen de résultats absents après des épreuves indépendantes ; séries de fonctions périodiques liées à zêta ; diagonalisation d’une matrice de rang deux, dans les cas réel et complexe.
Convexité, calcul différentiel, convergence et réduction matricielle. Concours commun E3A Mpi - Un exercice sur la loi binomiale négative, sa fonction génératrice et son espérance.
Le problème étudie une fonction définie par une série entière, puis sa transformée de Laplace.
Abscisse de convergence et comparaison des transformées de fonctions équivalentes. Concours National Maroc, maths 1 - Un exercice sur les symétries et projections orthogonales.
Le problème étudie les endomorphismes matriciels définis par la différence entre multiplication à gauche et multiplication à droite : spectre, nilpotence, diagonalisation, adjoint et propriétés orthogonales. Concours National Maroc, maths 2