2026-Centrale-Mp2-Corrigé

Centrale — MP et MPI — 2026 — Mathématiques 2

On note {\lfloor x\rfloor} la partie entière, caractérisée par {\lfloor x\rfloor\leq x\lt \lfloor x\rfloor+1}. Pour {s\in\mathbb C}, ses parties réelle et imaginaire sont notées {\operatorname{Re}s} et {\operatorname{Im}s}.

Pour {s>1} réel, on définit {\zeta(s)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}k^{-s}}. On étudiera des prolongements de cette fonction.

Pour chaque entier {k\geq2}, on pose sur {]0,1]} {f_k(t)=\frac1k\left\lfloor\frac1t\right\rfloor-\left\lfloor\frac1{kt}\right\rfloor.}Le problème établit une condition géométrique suffisante pour la non-annulation du prolongement de {\zeta} dans le demi-plan {\operatorname{Re}s>1/2}, hors son pôle en {1}.

Partie A — Questions préliminaires

I — La fonction {\zeta} sur {]1,+\infty[}

Pour {k\geq1}, on pose {u_k(s)=k^{-s}}.

Q 1. La série {\sum\limits_{k\geq1}u_k} converge-t-elle normalement sur {]1,+\infty[} ?
Q 2. Montrer que {\zeta} est continue sur {]1,+\infty[}.
Q 3. Montrer que {\zeta} ne s’annule pas sur {]1,+\infty[} et préciser son signe.

II — Variable complexe

Q 4. Pour {t>0} et {s\in\mathbb C}, on définit {t^s=e^{s\ln t}}. Exprimer {|t^s|}.

Dans les questions suivantes, {s\in\mathbb C} vérifie {x=\operatorname{Re}s>1}.

Q 5. Montrer que {\sum\limits_{k\geq1}k^{-s}} converge absolument.

On note {(p_i)_{i\geq1}} la suite croissante des nombres premiers, avec {p_i\to+\infty}.

Q 6. Pour {n\geq1}, montrer que la famille {((p_1^{m_1}\cdots p_n^{m_n})^{-s})_{(m_1,\ldots,m_n)\in\mathbb N^n}} est sommable et que sa somme est {S_n(s)=\prod_{i=1}^n\frac1{1-p_i^{-s}}.}

On note {N_n} l’ensemble des entiers positifs dont les facteurs premiers appartiennent à {\{p_1,\ldots,p_n\}}.

Q 7. En considérant {\sum\limits_{k\in N_n}k^{-s}}, déterminer {\lim\limits_{n\to+\infty}S_n(s)}.
Q 8. Déterminer la nature de la série {\sum\limits_i p_i^{-x}}, où {x>1}.

On pose {a_n=\prod\limits_{i=1}^n p_i^x/(p_i^x+1)}.

Q 9. Montrer que {(a_n)} converge vers un réel strictement positif, en étudiant {\ln a_n}.
Q 10. Établir {|S_n(s)|\geq a_n} et en déduire {\zeta(s)\ne0}.

III — Calcul d’intégrale

On suppose ici {\operatorname{Re}s>1/2}.

Q 11. Montrer que {t\mapsto t^{2(s-1)}} est intégrable sur {]0,1]}, puis calculer {\int_0^1|t^{s-1}|^2\,dt}.

IV — Étude géométrique

Pour {0\lt d\lt 1}, on note {\Delta_d} l’ensemble des affixes {s} telles que {d^2|s|^2\geq2\operatorname{Re}s-1}.

Q 12. Montrer que {\Delta_d} est le complémentaire d’un disque {D_d}, et préciser son centre et son rayon.
Q 13. Déterminer l’image de {]0,1[} par {g(d)=(1-\sqrt{1-d^2})/d^2}.
Q 14. Déterminer {\bigcap_{d\in]0,1[}\Delta_d}.

Partie B — Étude analytique

I — Transformée de Mellin des fonctions {f_k}

On reprend {k\geq2} et la définition {f_k(t)=k^{-1}\lfloor1/t\rfloor-\lfloor1/(kt)\rfloor}.

Q 15. Calculer {f_k(1/i)} pour {1\leq i\leq k}.
Q 16. Établir {0\leq f_k(t)\leq(k-1)/k} pour {0\lt t\leq1}.
Q 17. En déduire l’ensemble des valeurs de {f_k} sur {]0,1]}.
Q 18. Justifier que {f_k} est continue par morceaux et intégrable sur {]0,1]}.

Dans les questions suivantes, {s>1} est réel.

Q 19. En autorisant aussi {k=1}, montrer que {\int_0^1\lfloor1/(kt)\rfloor t^{s-1}\,dt} converge.

On pose {F(s)=\int_0^1\lfloor1/t\rfloor t^{s-1}\,dt}.

Q 20. Établir {F(s)=\sum_{j=1}^{+\infty}j\int_{1/(j+1)}^{1/j}t^{s-1}\,dt=\frac{\zeta(s)}s.}
Q 21. Montrer que {\int_0^1 f_k(t)t^{s-1}\,dt=\frac1s\left(\frac1k-\frac1{k^s}\right)\zeta(s).}

II — Prolongement de {\zeta}

On suppose maintenant {s>0} réel.

Q 22. Pour {h(t)=t^{-s}}, déterminer le maximum de {|h'|} sur {[k,k+1]}, où {k\geq1}.
Q 23. Montrer que la série de terme {\int_k^{k+1}(k^{-s}-t^{-s})\,dt} est positive et convergente, et que sa somme {G(s)} satisfait {0\leq G(s)\leq s\zeta(s+1)}.
Q 24. Pour {s>1}, établir {\zeta(s)-G(s)=1/(s-1)}, puis {\zeta(s)=1/(s-1)+O(1)} lorsque {s\to1^+}.

On admet l’adaptation de cette construction aux nombres complexes de partie réelle strictement positive. Pour {s\ne1} et {0\lt \operatorname{Re}s\leq1}, on définit alors {\zeta(s)=1/(s-1)+G(s)}.

III — Intégrale des fonctions {f_k}

Q 25. Montrer que {\int_0^1f_k(t)t^{s-1}\,dt\to\int_0^1f_k(t)\,dt} lorsque {s\to1^+} réel.
Q 26. En déduire {\int_0^1f_k(t)\,dt=\ln k/k}.

Partie C — Étude algébrique et géométrique

On note {E} l’espace des fonctions réelles continues par morceaux sur {]0,1]}, et {L^2} l’ensemble de celles dont le carré est intégrable sur cet intervalle. Il s’agit ici de fonctions, sans identification de celles qui ne diffèrent qu’en quelques points.

I — Forme bilinéaire symétrique positive

Q 27. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie, en justifiant.

Q 27. a) Toute fonction bornée sur {]0,1]} appartient à {L^2}.
Q 27. b) Les espaces {E} et {L^2} sont égaux.
Q 27. c) Toute fonction intégrable sur {]0,1]} appartient à {L^2}.
Q 28. Pour {f,g\in L^2}, montrer que {\int_0^1fg} converge absolument, puis que {L^2} est un sous-espace de {E}.
Q 29. Montrer que {(f\mid g)=\int_0^1f(t)g(t)\,dt} est une forme bilinéaire symétrique positive sur {L^2}, mais pas un produit scalaire.

II — Un espace préhilbertien réel

Soit {n\geq2} et supposons {\sum\limits_{k=2}^n\lambda_kf_k=0} sur {]0,1]}, avec des coefficients réels {\lambda_k}.

Q 30. En évaluant sur {]1/2,1]}, montrer que {\sum\limits_{k=2}^n\lambda_k/k=0}.
Q 31. Pour {2\leq\ell\leq n-1}, montrer que {\sum_{k=\ell+1}^n\lambda_k\frac\ell k+\sum_{k=2}^{\ell-1}\lambda_k\left(\frac\ell k-\left\lfloor\frac\ell k\right\rfloor\right)=0.}
Q 32. Déduire {\lambda_2=0} de Q30 et Q31, puis l’annulation de tous les coefficients. Quelle propriété a-t-on établie ?

On pose {F=\operatorname{Vect}(1,f_2,f_3,\ldots)}, où {1} désigne la fonction constante de valeur {1}.

Q 33. Montrer que {(\cdot\mid\cdot)} définit un produit scalaire sur {F}.

III — Distance à des sous-espaces

Q 34. Montrer l’existence et l’unicité d’une famille orthonormale {(e_k)_{2\leq k\leq n}} telle que {\operatorname{Vect}(e_2,\ldots,e_p)=\operatorname{Vect}(f_2,\ldots,f_p)} et {(e_p\mid f_p)>0} pour tout {2\leq p\leq n}.

On note {d_n} la distance de {1} à {\operatorname{Vect}(f_2,\ldots,f_n)}.

Q 35. Montrer que {d_n^2=1-\sum\limits_{k=2}^n(1\mid e_k)^2}.
Q 36. Montrer que {(d_n)} converge.

Partie D — Synthèse

On admet Cauchy-Schwarz pour les fonctions complexes continues par morceaux et de carré du module intégrable : {\left|\int_0^1f(t)g(t)\,dt\right|^2\leq\int_0^1|f(t)|^2\,dt\int_0^1|g(t)|^2\,dt.}On fixe {n\geq2}.

Q 37. Pour des réels {\lambda_2,\ldots,\lambda_n} et {\operatorname{Re}s>1/2}, justifier {\begin{array}{l}\displaystyle\left|\int_0^1\left(1-\sum_{k=2}^n\lambda_kf_k(t)\right)t^{s-1}\,dt\right|^2\\[8pt]\displaystyle\leq\int_0^1\left(1-\sum_{k=2}^n\lambda_kf_k(t)\right)^2dt\int_0^1|t^{2(s-1)}|\,dt.\end{array}}

On suppose par l’absurde qu’il existe {s\ne1} avec {\operatorname{Re}s>1/2} et {\zeta(s)=0}. On admet que l’identité de Q21 se prolonge à tout {s\ne1} de partie réelle strictement positive.

Q 38. Établir {d_n^2|s|^2\geq2\operatorname{Re}s-1}, puis conclure si {d_n\to0}.