Sous-espaces affines (3/3)

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Barycentres

{E}

désigne un espace vectoriel sur

{\mathbb{R}}

D. Points pondérés

On appelle point pondéré le couple

{(A,\lambda)}

formé d'un point

{A}

{E}

et d'un réel

{\lambda}

.
On dit que le réel

{\lambda}

est le poids du point pondéré

{(A,\lambda)}

.
Soit

{(A_1,\lambda_1),(A_2,\lambda_2),\ldots,(A_p,\lambda_p)}

une famille de

{p}

points pondérés.
La quantité

{m=\displaystyle\sum_{k=1}^{p}\lambda_k}

est appelée poids total de ce système de points.

D. Barycentre de points pondérés

Soit

{(A_1,\lambda_1),(A_2,\lambda_2),\ldots,(A_p,\lambda_p)}

une famille de

{p}

points pondérés.
On suppose que le poids total

{m}

de cette famille est non nul.
Il existe alors un unique point

{G}

{E}

tel que :

{\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k \overrightarrow{GA_k}=0}

.
Il est défini par :

{G=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k A_k}

.
On dit que

{G}

est le barycentre des points pondérées

{(A_k,\lambda_k)}

On ne modifie pas le barycentre ${G}$ en multipliant les poids ${\lambda_k}$ par un même coefficient non nul ${\mu}$ .
En particulier, en choisissant ${\mu=\dfrac1m}$ , on peut toujours se ramener à ${\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k=1}$ .
Dans ce cas le barycentre ${G}$ est défini par ${G=\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k A_k}$ .

R. Isobarycentre

Si les poids

{\lambda_{k}}

sont constants, on obtient l'isobarycentre (ou équibarycentre) de

{A_1,A_2,\ldots,A_p}

.
On peut bien sûr choisir

{\lambda=\dfrac1p}

. L'isobarycentre

{G}

est alors défini par l'égalité

{G=\dfrac1p\displaystyle\sum_{k=1}^p A_k}

.
L'isobarycentre de

{A,B}

est le milieu

{G=\dfrac{1}{2}(A+B)}

du segment

{[A,B]}

.
L'isobarycentre de

{A,B,C}

est le centre de gravité

{G=\dfrac13(A+B+C)}

du triangle

{ABC}

R. Parallélogramme

Soit

{A,B,C,D}

quatre points de

{E}

. On a les équivalences suivantes :

{\begin{array}{rl}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}&\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\\\\&\Leftrightarrow\exists\, u\in E,\begin{cases}t_u(A)=D\cr t_u(B)=C\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow [A,C]\;\text{et}\; [B,D]\text{\ ont même milieu}\end{array}}

On exprime ces conditions en disant que

{A,B,C,D}

(dans cet ordre) forment un parallélogramme.
Il en est alors de même pour les quadruplets

{B,C,D,A}

, ou

{C,D,A,B}

.
Le milieu commun

{I}

{[A,C]}

{[B,D]}

vérifie :

{I=\dfrac12(A\!+\!C)=\dfrac12(B\!+\!D)=\dfrac14(A\!+\!B\!+\!C\!+\!D)}

Autrement dit,

{I}

est l'isobarycentre des quatre points

{A,B,C,D}

R. Associativité du barycentre

Lorsqu'on cherche un barycentre ${G}$ , on peut remplacer une sous-famille de points (de poids total ${m_k}$ non nul) par le barycentre ${G_k}$ de cette sous-famille affecté lui-même du poids ${m_k}$ .
L'isobarycentre ${G}$ des points ${A,B,C}$ est aussi le barycentre de ${(A,1),(I,2)}$ , où ${I=\dfrac12(B+C)}$ .
Autrement dit ${\overrightarrow{AG}=\dfrac23\overrightarrow{AI}}$ . Les médianes d'un triangle sont donc concourantes en son centre de gravité ${G}$ , qui est au deux-tiers de chaque médiane en partant du sommet.
De même, on se donne quatre points ${A,B,C,D}$ non coplanaires : ils forment un vrai tétraèdre.
Soit ${G}$ l'isobarycentre de ${A,B,C,D}$ , et soit ${I}$ celui de ${B,C,D}$ .
Par associativité, ${G}$ est le barycentre de ${(A,1)}$ et ${(I,3)}$ . Autrement dit ${\overrightarrow{AG}=\dfrac34\overrightarrow{AI}}$ .
Ainsi, dans un tétraèdre, les segments joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée sont concourants en le centre de gravité du tétraèdre. Celui-ci est aux trois quarts de chacun de ces segments (en partant du sommet du tétraèdre.)

Barycentres et sous-espaces

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E. Exercices conseillés

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