Séries numériques (2/2)

Soit {f} une fonction continue par morceaux sur {[n_{0},+\infty[}, positive et décroissante.
La série {\sum\limits f(n)} converge si et seulement si {f} est intégrable sur {[n_{0},+\infty[}.

Soit {\alpha} un réel strictement positif. La série {\sum\limits \dfrac1{n^\alpha}} est convergente si et seulement si {\alpha>1}.

La série {\sum\limits_{n\ge1}\dfrac1{n^2}} converge, et on a {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6}.

On pose {H_{n}=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}, puis {u_{n}=H_{n}-\ln(n)}.
Alors la suite {(u_{n})_{n\ge 1}} converge.
On note {\gamma} sa limite ("constante d'Euler"). On a : {\gamma\approx 0.5772156649}.
On retiendra donc {\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\text{o}(1)}

Soit {\sum\limits u_n} et {\sum\limits v_n} deux séries à termes positifs, convergentes, avec {u_n\sim v_n}.

1. Alors on a : {\sum\limits_{k=n}^{+\infty}u_{k}\stackrel{n\to\infty}{\sim}\sum\limits_{k=n}^{+\infty}v_{k}}.
2. Il en découle : {\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\dfrac{1}{k^{2}}\stackrel{n\to+\infty}{\sim}\dfrac{1}{n}}.
3. On en déduit : {\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}=\ln(n)+\gamma+\dfrac{1}{2n}+\text{o}\Bigl(\dfrac{1}{n}\Bigr)}.

Soit {\sum\limits u_{n}} une série à termes positifs.

1. S'il existe {\alpha>1} et {M\ge0} tels que {0\le n^\alpha u_n\le M} pour {n\ge n_{0}}, alors {\sum\limits u_n} converge.
   C'est le cas si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^\alpha u_n=0}, c'est-à-dire si {u_n=\text{o}\Big(\dfrac1{n^\alpha}\Big)}.
2. S'il existe {M>0} tel que {u_n\ge\dfrac{M}{n}} pour {n\ge n_{0}}, alors {\sum\limits u_n} diverge.
   C'est le cas si {u_n\sim\dfrac\lambda n}, avec {\lambda>0}.

Soit {\alpha} un réel strictement positif. Soit {\beta} un nombre réel.
La série {\displaystyle \sum\limits\dfrac1{n^\alpha\,(\ln n)^{\beta}}} converge si et seulement si {\alpha>1} ou {( \alpha=1\;\text{et}\; \beta>1)}.

Quand {n\to\infty}, on a : {n!\sim \Bigl(\dfrac{n}{\text{e}}\Bigr)^{n}\,\sqrt{2\pi n}}.

Soit {(u_n)} une suite de {\mathbb{R}^{+\ast}}. On suppose que {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\alpha}.
Si {0\le\alpha\lt 1}, la série {\sum\limits u_n} est convergente. Si {\alpha>1}, elle est divergente.
Si {\alpha=1} on ne peut rien dire : c'est le "cas douteux" de la règle de d'Alembert.
Toutefois, si {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=1^+}, alors {\sum\limits u_n} diverge.