Probabilités (4/4)

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Espérance d’une v.a.r.

D. Espérance d'une variable aléatoire réelle

Soit

{\text{X}:\Omega\to E}

une variable aléatoire réelle sur

{(\Omega,\mathbb{P})}

, avec

{\Omega}

un ensemble fini.
La quantité

{\text{E}(\text{X})=\displaystyle\sum_{x\in \text{X}(\Omega)}\mathbb{P}(\text{X}=x)\,x}

est appelée espérance de la variable aléatoire réelle

{\text{X}}

R. Interprétation de l'espérance

${\text{E}(\text{X})}$ est la moyenne pondérée des valeurs ${x}$ que la variable ${\text{X}}$ est susceptible de prendre, le poids affecté à chacune de ces valeurs ${x}$ étant la probabilité de l'événement ${(\text{X}=x)}$ .
Plutôt que de sommer sur les valeurs ${x}$ de ${\text{X}(\Omega)}$ , on peut sommer sur les résultats élémentaires ${\omega}$ .
On obtient alors la relation : ${\text{E}(\text{X})=\displaystyle\sum_{\omega\in \Omega}\mathbb{P}(\{\omega\})\,\text{X}(\omega)}$ .

R. Espérance de lois usuelles

Espérance d'une loi constante :
Si ${\text{X}}$ est constante, de valeur ${a}$ , alors ${\text{E}(\text{X})=a}$ .
Espérance d'une variable indicatrice :
Si ${\text{X}}$ est l'indicatrice de ${A}$ , alors ${\text{E}(\text{X})=\mathbb{P}(A)}$ .
Espérance d'une loi de Bernoulli :
Si ${\text{X}}$ suit la loi de Bernoulli ${\mathcal{B}(p)}$ , alors ${\text{E}(\text{X})=p}$ .
Espérance d'une loi uniforme :
Si ${\text{X}\leadsto\mathcal{U}_{[[ a,b]]}}$ , alors ${\text{E}(\text{X})=\dfrac{a+b}{2}}$ .
Espérance de la loi binomiale :
Si ${\text{X}\leadsto\mathcal{B}(n,p)}$ , alors ${\text{E}(\text{X})=np}$ .

P. Théorème du transfert

Soit

{\text{X}:\Omega\to E}

une variable aléatoire sur l'espace probabilisé fini

{(\Omega,\mathbb{P})}

.
Soit

{f:E\to\mathbb{R}}

une application. Alors :

{\text{E}(f(\text{X}))=\displaystyle\sum_{x\in \text{X}(\Omega)}\mathbb{P}(\text{X}=x)f(x)}

Cette propriété est très importante, elle signifie que pour calculer l'espérance de ${\text{E}(\text{Y})}$ , et plutôt que d'utiliser la loi de ${\text{Y}}$ , c'est-à-dire les probabilités ${\mathbb{P}(Y=y)}$ , il suffit de connaître, et d'utiliser, la loi de ${\text{X}}$ .

R. Croissance et linéarité de l'espérance

Soit

{\text{X}}

{\text{Y}}

deux variables aléatoires réelles sur

{(\Omega,\mathbb{P})}

, avec

{\Omega}

un ensemble fini.

On suppose que ${\text{X}(\omega)\le \text{Y}(\omega)}$ pour tout ${\omega}$ de ${\Omega}$ . Alors ${\text{E}(\text{X})\le \text{E}(\text{Y})}$ .
Si ${X\ge0}$ alors ${\text{E}(\text{X})=0\Leftrightarrow\mathbb{P}(\text{X}=0)=1}$ (c'est-à-dire : ${\text{X}}$ est "presque nulle").
Pour tous réels ${a,b}$ , on a : ${\text{E}(a \text{X}+b)=a\text{E}(\text{X})+b}$ .
Plus généralement, on a l'égalité : ${\text{E}(a \text{X}+b \text{Y})=a \text{E}(\text{X})+b \text{E}(\text{Y})}$
Par récurrence évidente, et pour toutes variables aléatoires ${\text{X}_{1},\ldots,\text{X}_{n}}$ , on a : ${E\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\text{X}_{i}\Bigr)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\text{E}(\text{X}_{i})}$

R. On retrouve l'espérance de la loi B(n,p)

On sait que si

{\text{X}\rightsquigarrow\mathcal{B}(n,p)}

alors

{\text{X}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\text{X}_{i}}

où les

{\text{X}_{i}\rightsquigarrow\mathcal{B}(p)}

sont mutuellement indépendantes.

Cette représentation de ${\text{X}}$ permet de retrouver : ${\text{E}(\text{X})=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\underbrace{\text{E}(\text{X}_{i})}_{=p}=np}$ Remarque : l'indépendance des ${\text{X}_{i}}$ n'est pas utilisée ici.

P. Produit de deux variables indépendantes

Soit

{\text{X}}

{\text{Y}}

deux variables aléatoires réelles sur

{(\Omega,\mathbb{P})}

, avec

{\Omega}

un ensemble fini.
On suppose que

{\text{X}}

{\text{Y}}

sont indépendantes.
Alors :

{\text{E}(\text{X}\text{Y})=\text{E}(\text{X})\,\text{E}(\text{Y})}

Inversement, l'égalité ${\text{E}(\text{X}\text{Y})=\text{E}(\text{X})\,\text{E}(\text{Y})}$ n'implique pas l'indépendance de ${\text{X}}$ et ${\text{Y}}$ en général.

Variance et covariance

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E. Exercices conseillés

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