Probabilités, variables aléatoires

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Variables aléatoires discrètes

D. Variable aléatoire discrète

Soit

{\mathcal{A}}

une tribu de parties de

{\Omega}

. Soit

{\text{X}}

une application de

{\Omega}

dans un ensemble

{E}

.
On dit que

{\text{X}}

est une variable aléatoire discrète si :

L'ensemble ${\text{X}(\Omega)}$ est fini ou dénombrable;
Pour tout ${x\in E}$ , l'ensemble ${\text{X}^{-1}(\{x\})=\{\omega\in\Omega,\;\text{X}(\omega)=x\}}$ est un événement. Il est noté ${(\text{X}=x)}$ .

On abrège «variable aléatoire discrète» en v.a. ou v.a.d.

R. Remarques

Si ${\Omega}$ est fini ou dénombrable, la première hypothèse « ${\text{X}(\Omega)}$ est fini ou dénombrable» est sans objet, car automatiquement vérifiée. De même si ${\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)}$ , la deuxième hypothèse est sans objet.
Retenons que si ${\Omega}$ est fini ou dénombrable, alors toute application ${\text{X} :\Omega\to E}$ est une variable aléatoire sur ${(\Omega,\mathcal{P}(\Omega))}$ .
La définition d'une v.a.d. ne nécessite pas qu'il existe une probabilité. Mais si c'est le cas, on s'intéressera aux probabilités ${\mathbb{P}(\text{X}=x)}$ (à suivre...).
On considérera le plus souvent des v.a.r (à valeurs dans ${\mathbb{R}}$ ).
Toute application constante sur ${\Omega}$ est une variable aléatoire discrète.
Il existe des variables aléatoires ${\text{X}}$ dont l'image ${\text{X}(\Omega)}$ est infinie non dénombrable (par exemple un intervalle de ${\mathbb{R}}$ ) mais c'est hors-programme. Dans tout ce qui suit, l'expression "variable aléatoire" signifie donc "variable aléatoire discrète".

D. Variable indicatrice d'un événement

Soit

{\mathcal{A}}

une tribu de parties d'un ensemble

{\Omega}

. Soit

{A}

un événement. On appelle indicatrice de l'événement

{A}

la variable aléatoire réelle définie par

{(\forall\, \omega\in A,\; \text{X}(\omega)=1)\;\text{et}\;(\forall\, \omega\notin A,\; \text{X}(\omega)=0)}

Elle est souvent notée

{\chi_{A}}

P. Événements notés (X ∈ U)

Soit

{\text{X} :\Omega\to E}

une v.a.d. et soit

{U}

une partie de

{E}

.
Alors l'ensemble

{\text{X}^{-1}(U)=\{\omega\in\Omega,\;\text{X}(\omega)\in U\}}

est un événement.
Cet événement est noté

{(\text{X} \in U)}

, ou encore

{\{\text{X} \in U\}}

. Si

{\text{X}}

est à valeurs réelles, on considère souvent les événements

{(\text{X}\le a)}

{(a\le \text{X}\le b)}

{(\text{X}>a)}

, etc.

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