Polynômes (6/8)

Soit {P} un polynôme non constant de {\mathbb{K}[X]}.
On dit que {P} est irréductible dans {\mathbb{K}[X]} si ses seuls diviseurs dans {\mathbb{K}[X]} sont :

• les polynômes constants non nuls.
• les polynômes associés à {P}, c'est-à-dire les {\lambda P}, avec {\lambda} dans {\mathbb{K}^*}.

• A contrario, un polynôme non constant {P} n'est pas irréductible (donc est "réductible") dans {\mathbb{K}[X]} s'il possède une "factorisation stricte", c'est-à-dire s'il existe {A} et {B} dans {\mathbb{K}[X]} tels que {P=AB} avec {\deg(A)\lt \deg(P)} et {\deg(B)\lt \deg(P)}.
• La description des polynômes irréductibles est facile dans {\mathbb{C}[X]}, assez facile dans {\mathbb{R}[X]}, mais difficile dans {\mathbb{Q}[X]} (polynômes à coefficients rationnels). On se contente ici d'un aperçu très sommaire du cas général {\mathbb{K}[X]}, sachant que le programme de la classe de MPSI se limite à {\mathbb{R}[X]} et {\mathbb{C}[X]}.
• On a vu à quel point l'arithmétique des polynômes est proche de celle des entiers. Cette proximité s'explique par l'existence d'une division euclidienne, à la fois dans {\mathbb{Z}} et dans {\mathbb{K}[X]} (et c'est cette division qui conduit, via l'algorithme d'Euclide, à la notion de Pgcd).
• La notion de polynôme irréductible est dans la continuité de cette proximité, les polynômes irréductibles jouant le rôle qu'ont joué les nombres premiers dans l'arithmétique des entiers.

• Tout polynôme de degré {1} est irréductible.
  Si {\deg(P)\ge2} et si {P} admet une racine dans {\mathbb{K}}, alors {P} n'est pas irréductible dans {\mathbb{K}[X]}.
  Si {\deg(P)\in\{2,3\}} et si {P} n'a pas de racine dans {\mathbb{K}} alors il est irréductible dans {\mathbb{K}[X]}.
  Cette propriété cesse d'être vraie si {\deg(P)\ge4} (exemple : {P=(X^2+1)^2} dans {\mathbb{R}[X]}).
• La notion de polynôme irréductible dépend du corps {\mathbb{K}}.
  Ainsi {A=X^2-2} est irréductible dans {\mathbb{Q}[X]}, pas dans {\mathbb{R}[X]} car {A=(X-\sqrt2)(X+\sqrt2)}.
  De même {A=X^2+1} est irréductible dans {\mathbb{R}[X]}, pas dans {\mathbb{C}[X]} car {A=(X-i)(X+i)}.
• Si un polynôme irréductible {P} ne divise pas un polynôme {A}, alors il est premier avec {A}.
  En particulier, {P} est premier avec les polynômes de degré strictement inférieur à {\deg(P)}.
• Soit {P} un polynôme irréductible, et soit {A_1,A_2,\ldots,A_n} une famille de polynômes.
  Alors {P} divise le produit {A_1A_2\ldots A_n} si et seulement si {P} divise l'un au moins des {A_k}.
• Si un polynôme {P} est irréductible, ses associés le sont aussi.
  Si deux polynômes irréductibles ne sont pas associés, ils sont premiers entre eux.
  Deux polynômes irréductibles unitaires distincts sont premiers entre eux.

• {m} est un entier strictement positif.
• {P_1,P_2,\ldots,P_m} sont des polynômes irréductibles unitaires distincts deux à deux.
• {\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m} sont des entiers strictement positifs.

Une telle écriture de {A} est unique à l'ordre près des facteurs.
On l'appelle décomposition de {A} en produit de facteurs irréductibles.

Dans cette écriture de {A}, les {P_k} sont les diviseurs irréductibles unitaires du polynôme {A}.