Limites et continuité (2/5)

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Opérations sur les limites

P. Limite et valeur absolue

{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}

, avec

{\ell}

dans

{\mathbb{R}}

, alors

{\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|=\left|\ell\right|}

R. Remarques

Ce résultat est encore valable si ${\ell=\pm\infty}$ , à condition de noter ${\left|{-\infty}\right|=\left|{+\infty}\right|=+\infty}$ .
L'existence de ${\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|}$ n'implique pas celle de ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}$ , si on ne sait rien du signe de ${f}$ .
En revanche, on a l'équivalence : ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}\left|f(x)\right|=0}$ .
Si ${\ell}$ est un réel, on a les équivalences : ${\begin{array}{rl}\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell&\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}(f(x)-\ell)=0\\[9pts]&\Leftrightarrow\displaystyle\lim_{x\to a}\left|{f(x)-\ell}\right|=0\end{array}}$

P. Limites et combinaisons linéaires

On suppose que

{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}

{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell\,'}

, avec

{\ell}

{\ell\,'}

dans

{\mathbb{R}}

.
Alors

{\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)=\ell+\ell\,'}

.
Plus généralement, pour tout

{(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^{2}}

, on a :

{\displaystyle\lim_{x\to a}(\alpha f+\beta g)(x)=\alpha\ell+\beta\ell\,'}

R. Remarques

Ce résultat s'étend à ${\ell}$ ou ${\ell'}$ dans ${\{-\infty,+\infty\}}$ , à condition que ${\alpha \ell+\beta \ell'}$ ait un sens dans ${\overline{\mathbb{R}}}$ .
On ne peut en effet rien dire en général de ${\displaystyle\lim_{x\to a}(f+g)(x)}$ si ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ et ${\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=-\infty}$ .
On dit dans ce cas qu'on est en présence de la forme indéterminée " ${\infty-\infty}$ ".
Il faut alors faire une étude spécifique et "lever" cette indétermination.

P. Limites et produits

On suppose que

{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}

{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\ell\,'}

, avec

{\ell}

{\ell\,'}

dans

{\mathbb{R}}

.
Alors

{\displaystyle\lim_{x\to a}(fg)(x)=\ell\ell\,'}

R. Remarques

Ce résultat s'étend à ${\ell}$ ou ${\ell\,'}$ dans ${\{-\infty,+\infty\}}$ , à condition que ${\ell\, \ell\,'}$ ait un sens dans ${\overline{\mathbb{R}}}$ .
Ainsi, on ne peut rien dire en général de ${\displaystyle\lim_{x\to a}(fg)(x)}$ si ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0}$ et ${\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)\in\{-\infty,+\infty\}}$ .
On dit dans ce cas qu'on est en présence de la forme indéterminée " ${0\,\infty}$ ".
Il faut alors faire une étude spécifique et "lever" cette indétermination.

P. Majoration ou minoration de l'inverse

{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}

, avec

{\ell\in\mathbb{R}^{*}}

, alors au voisinage de

{a}

{\left|f(x)\right|\ge\dfrac{1}2\,\left|\ell\right|}

, donc

{\dfrac{1}{\left|f(x)\right|}\le\dfrac{2}{\left|\ell\right|}}

Si ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell>0}$ (resp. ${\ell\lt 0}$ ), alors au voisinage de ${a}$ : ${f(x)>\dfrac\ell2>0}$ (resp. ${f(x)\lt \dfrac\ell2\lt 0}$ ).

P. Limites et passage à l'inverse

{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}

, avec

{\ell}

dans

{\mathbb{R}^{*}}

, alors

{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac1\ell}

.
Si

{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0}

{f(x)>0}

au voisinage de

{a}

, alors

{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{f(x)}=+\infty}

.
Si

{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0}

{f(x)\lt 0}

) au voisinage de

{a}

, alors on a

{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{1}{f(x)}=-\infty}

.
Si

{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty}

{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}

, alors

{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac1{f(x)}=0}

R. Remarques

Ce qui précède permet de conclure dans le calcul de

{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}}

, sauf dans les cas suivants :

Si ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0}$ et ${\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}$ , on parle de la forme indéterminée " ${\dfrac 00}$ "
Si ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty}$ et ${\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty}$ , on parle de la forme indéterminée " ${\dfrac\infty\infty}$ "

Pour ${\displaystyle\lim_{x\to a}\,{f(x)}^{g(x)}}$ , trois formes indéterminées se ramènent à " ${0\,\infty}$ " car ${f(x)^{g(x)}=\text{e}^{g(x)\ln(f(x))}}$ .

Ces trois formes indéterminées sont :

" $1^\infty$ " si ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=1}$ et ${\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty}$

" $\infty^0$ " si ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=+\infty}$ et ${\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}$

" $0^0$ " si ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0^{+}}$ et ${\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0}$

Avec une forme indéterminée, tout est possible : on fait une étude spécifique pour chaque cas.

P. Composition des limites

On suppose que la fonction

{g\circ f}

est définie au voisinage de

{a}

.
Si

{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=b}

{\displaystyle\lim_{x\to b}g(x)=\ell}

, alors

{\displaystyle\lim_{x\to a}(g\circ f)(x)=\ell}

Limites et inégalités

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Théorème de la limite monotone

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E. Exercices conseillés

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