Espaces préhilbertiens (2/3)

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Orthogonalité

D. Vecteurs orthogonaux

Soit

{E}

un espace préhilbertien réel.
Deux vecteurs

{x,y}

sont dits orthogonaux si

{\left(x\mid y\right)=0}

Le seul vecteur à être orthogonal à lui-même est le vecteur nul. A fortiori, le seul vecteur à être orthogonal à tous les vecteurs de ${E}$ est le vecteur nul.

D. Sous-espaces orthogonaux

Soit

{F}

{G}

deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien réel

{E}

.
On dit que

{F}

{G}

sont orthogonaux si :

{\;\forall\, x\in F,\;\forall\, y\in G,\;\left(x\mid y\right)=0}

Remarque : alors

{F}

{G}

sont en somme directe.

P. Orthogonal d'un sous-espace

Soit

{F}

un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien réel

{E}

.
On note

{F^{\bot}=\{y\in E,\;\forall\, x\in F,\;\left(x\mid y\right)=0\}}

.
Ainsi

{F^{\bot}}

est l'ensemble des vecteurs de

{E}

qui sont orthogonaux à tous ceux de

{F}

.
L'ensemble

{F^{\bot}}

est un sous-espace vectoriel de

{E}

. On l'appelle l'orthogonal de

{F}

R. Quelques remarques

De manière évidente, on a ${\{0\}^\bot=E}$ , et ${E^\bot=\{0\}}$ .
Dire que ${F,G}$ sont orthogonaux, c'est dire que ${F\subset G^\bot}$ , ou encore ${G\subset F^\bot}$ .
L'espace ${F^\bot}$ est, pour l'inclusion, le plus grand sous-espace de ${E}$ orthogonal à ${F}$ .
Si on a ${F\subset G}$ , alors on a ${G^\bot\subset F^\bot}$ .
Pour tout sous-espace ${F}$ , on a ${F\subset (F^{\bot})^{\bot}}$ ( ${F}$ est inclus dans son "double orthogonal").
On verra plus loin que si ${F}$ est de dimension finie, il s'agit d'une égalité.
Si ${F=\text{Vect}\{x_i,\;i\in I\}}$ , alors on a l'équivalence : ${y\in F^{\bot}\Leftrightarrow\forall\, i\in I,\;\left(y\mid x_{i}\right)=0}$

E. Exercices conseillés

Familles orthogonales

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Procédé de Gram-Schmidt

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Bases orthonormales d’un ev euclidien

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