Calcul matriciel (1/3)

Soient {n} et {p} deux entiers strictement positifs.
Une matrice {A} de type {(n,p)} est une application de {\{1,\ldots,n\}\times\{1,\ldots,p\}} dans {\mathbb{K}}.
On note souvent {a_{i,j}} (« coefficient d'indice {i,j} ») l'image du couple {(i,j)} par l'application {A}.
On écrit alors {A=(a_{i,j})_{i=1..n\atop j=1..p}}, ou plus simplement {A=(a_{ij})}.

On note {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} l'ensemble des matrices de type {(n,p)} à coefficients dans {\mathbb{K}}.
Pour décrire un élément {A} de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})}, on dispose les coefficients dans un tableau à {n} lignes et {p} colonnes, le coefficient {a_{i,j}} venant se placer à l'intersection de la {i}-ème ligne et de la {j}-ème colonne.

Par exemple, {A\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{K})} définie par : {\left\{\begin{array}{ccc}a_{1,1}=5,& a_{1,2}=3,&a_{1,3}=2\\a_{2,1}=7,& a_{2,2}=4,&a_{2,3}=1\end{array}\right.}est {A=\begin{pmatrix}5&3&2\cr7&4&1\end{pmatrix}}.

Finalement, c'est ce tableau lui-même qu'on appelle une matrice. On note souvent {[A]_{i,j}=a_{i,j}}.

On dit donc qu'un élément {A} de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} est une "matrice à {n} lignes et à {p} colonnes".

Une matrice constante {A=(a_{i,j})} de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} est définie par {a_{i,j}=\lambda} pour tous {i,j}.
En particulier, la matrice nulle {A=(a_{i,j})} de {\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})} est définie par {a_{i,j}=0} pour tous {i,j}.

Les éléments de {{\mathcal M}_{1,p}(\mathbb{K})} sont dits matrices-ligne. Ceux de {{\mathcal M}_{p,1}(\mathbb{K})} sont dits matrices-colonne.

On peut identifier (en restant prudent) :

• le vecteur {(a_1,a_2,\ldots,a_p)} de {\mathbb{K}^p}
• la matrice-ligne {(a_1\ a_2\ \ldots\ a_p)} de {{\mathcal M}_{1,p}(\mathbb{K})}
• la matrice-colonne {\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_p\end{pmatrix}} de {{\mathcal M}_{p,1}(\mathbb{K})}