Calcul différentiel (1/4)

Dans ce chapitre, l'espace {\mathbb{R}^{p}} est muni de sa structure d'espace euclidien canonique. La base canonique {\mathcal{B}=(e_{i})_{1\le i\le p}} est donc orthonormée.
On considère des fonctions définies sur un ouvert {U} de {\mathbb{R}^{p}}, à valeurs dans {\mathbb{R}}.

Les notions relatives à la continuité relèvent du chapitre "Espaces vectoriels normés".

Par les dérivées partielles, on cherche à généraliser la notion de dérivabilité, qui n'a plus de sens quand {p\ge2}. En revanche, il est possible de généraliser la notion de développement limité d'ordre un.

Voici comment il est possible de représenter graphiquement une fonction {f} de {U\subset\mathbb{R}^{2}} dans {\mathbb{R}}, et en particulier l'image d'un point {(x,y)} de {U}.

Dans cette deuxième représentation, beaucoup plus visuelle, le point {(x,y,f(x,y))} décrit une surface de l'espace, la projection de cette surface sur le plan {Oxy} étant l'ouvert {U} de {\mathbb{R}^{2}} sur lequel est défini la fonction {f}.

Soit {f} une fonction définie sur un ouvert {U} de {\mathbb{R}^{p}}, à valeurs réelles.
Soit {a=(a_{1},\ldots,a_{p})\in U}, et soit {i} dans {\llbracket 1,n\rrbracket}.
La fonction {h\mapsto \varphi_{i}(h)=f(a+he_{i})}, à valeurs réelles, est définie sur un intervalle ouvert contenant {0}. On l'appelle la {i}-ème fonction partielle de {f} au point {a}.

Soit {f} une fonction définie sur un ouvert {U} de {\mathbb{R}^{p}}, à valeurs réelles.
Soit {a} un élément de {U}, et soit {u} un élément de {\mathbb{R}^{p}}.
La fonction {h\mapsto \varphi_{u}(h)=f(a+hu)}, à valeurs réelles, est définie sur un intervalle ouvert contenant {0}. On dit que {\varphi_{u}} est la fonction partielle de {f}, au point {a}, «suivant le vecteur {u}».
Dans le cas particulier où {u=e_{i}}, on retrouve bien sûr la fonction partielle {\varphi_{i}}.

Le schéma ci-dessous illustre les deux fonctions partielles {\varphi_1,\varphi_2} de {f} en {a=(\alpha,\beta)\in U}.

• la fonction {\varphi_{1}} est définie au voisinage de {0} par {\varphi_{1}(h)=f(\alpha+h,\beta)};
  elle représente une restriction de {f} à l'axe d'origine {a} et parallèle à {Ox};
• la fonction {\varphi_{2}} est définie au voisinage de {0} par {\varphi_{2}(k)=f(\alpha,\beta+k)};
  elle représente une restriction de {f} à l'axe d'origine {a} et parallèle à {Oy}.

On s'en doute, la donnée de {\varphi_1} et de {\varphi_2} ne permet pas de "reconstituer" la fonction {f} au voisinage de {a}, notamment aux points {(x,y)} avec {x\ne\alpha} et {y\ne\beta}.

Soit {f} une fonction définie sur un ouvert {U} de {\mathbb{R}^{p}}, à valeurs réelles.
On suppose que {f} est continue au point {a} de {U}.
Alors chacune des fonctions partielles {h\mapsto \varphi_{i}(h)=f(a+he_{i})} est continue en {0}.
Plus généralement la fonction partielle {h\mapsto \varphi_{u}(h)=f(a+hu)} suivant le vecteur {u} est continue en {0}.

La réciproque de la propriété précédente est fausse, comme le montrent ces deux exemples :

• Pour tout {(x,y)\ne(0,0)} on pose {f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}}. On pose {f(0,0)=0}.
  Les fonctions partielles de {f} en {(0,0)} sont nulles sur {\mathbb{R}}, donc continues en {(0,0)}.
  Pourtant {f} n'est pas continue en {(0,0)}. En effet {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f\Bigl(\dfrac1n,\dfrac1n\Bigr)=\dfrac12\ne f(0,0)}.
• On pose {f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}} si {(x,y)\ne(0,0)}, et {f(0,0)=0}.
  Les fonctions partielles de {f} en {(0,0)} sont nulles sur {\mathbb{R}}, donc continues en {(0,0)}.
  Pourtant {f} n'est pas continue en {(0,0)}! En effet {\displaystyle\lim_{n\to+\infty}f\Bigl(\dfrac1{n^{2}},\dfrac1n\Bigr)=\dfrac12\ne f(0,0)}.