Polynômes (1/8)

Avec cette opération et la loi {+}, on peut définir des combinaisons linéaires dans {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}.

Par exemple, soient {a=(a_n)_{n\ge0}}, {b=(b_n)_{n\ge0}} et {c=(c_n)_{n\ge0}} sont trois éléments de {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}}, et soient {\alpha,\beta,\gamma} trois scalaires (des éléments de {\mathbb{K}})

Alors {d=\alpha a+\beta b+\gamma c} désigne la suite (à support fini) de terme général {d_n=\alpha a_n+\beta b_n+\gamma c_n}.
On dit que {d} est une combinaison linéaire de {a,b,c}, avec les coefficients {\alpha,\beta,\gamma}.

Ainsi {e_0=(1,0...)}, {e_1=(0,1,0,...)}, {e_2=(0,0,1,0...)}.

On remarque que {a=(3,0,1,-2,0,0,4,0...)} s'écrit {a=3e_0+e_2-2e_3+4e_6}.

Plus généralement, si {a=(a_0,a_1,\ldots,a_m,0...)}, alors : {a=a_0e_0+a_1e_1+\cdots+a_me_m=\displaystyle\sum_{n=0}^ma_ne_n}On notera aussi {a=\displaystyle\sum_{n\ge0}a_ne_n}ou {a=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}a_ne_n}, en se souvenant que cette somme est finie.

L'écriture de {a} comme combinaison linéaire des {e_n} est unique, à l'ordre près. On exprime cette propriété en disant que les suites {e_{n}} forment une base de {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} (dite "base canonique").

et plus généralement, pour tout {n\in\mathbb{N}} : {c_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\displaystyle\sum_{j+k=n}a_{j}b_{k}}.
Avec ces notations, la suite {c=ab} est encore à support fini.

• La loi produit sur {\mathbb{K}^{(\mathbb{N})}} est commutative, associative, distributive par rapport à l'addition.
  La suite {e_0=(1,0...)} est élément neutre pour ce produit.
• Pour tous indices {j} et {k}, on remarque que {e_j e_k=e_{j+k}}.
  On en déduit que pour tout {n} de {\mathbb{N}}, on a {e_1^n=e_n} (en posant {e_1^0=e_0}).