Soit
{f :U\subset\mathbb{R}^p\to\mathbb{R}},
{{\mathcal C}^{1}} sur l'ouvert
{U}.
Les fonctions dérivées partielles
{\partial_{i}f} sont donc définies et continues sur
{U}.
Soit {a} un point de {U}, et soit {i,j} deux indices dans {\llbracket 1,p\rrbracket}.
La {i}-ème dérivée partielle de {\partial_{j}f} en {a} (si elle existe) est notée {\partial^{2}_{i,j}(a)} ou {\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}(a)}.
Si {i=j}, on écrit {\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x_{i}^{2}}(a)} plutôt que {\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x_{i}\,\partial x_{i}}(a)}.
On définit ainsi, sous réserve d'existence, les fonctions dérivées partielles secondes de {f}.
Pour des variables nommées {x,y,z}, on note : {\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x\,\partial y}(a),\;\dfrac{\partial{}^2f}{\partial y\,\partial x}(a),\;\dfrac{\partial{}^2f}{\partial x^{2}}(a)}