Quiz (implications et équivalences)

Dans chacune des 10 questions suivantes, ${A}$ et ${B}$ désignent des propositions portant sur une suite ${(u_n)}$ de nombres réels.
À chaque fois, on doit dire si ${A\Rightarrow B}$ , ou ${B\Rightarrow A}$ , ou ${A\Leftrightarrow B}$ ou s’il n’y a aucun lien logique.

{A}

{(u_n)}

est monotone (à partir d’un certain temps)

{B}

: la suite

{(u_n)}

est convergente

Réponse

Il n'y a pas de rapport logique. Par exemple la suite

{n\mapsto n}

est monotone mais divergente.

Inversement, la suite ${n\mapsto (-1)^n/n}$ converge (vers ${0}$ ), mais ne devient jamais monotone.

Soit

{(u_n)}

une suite positive.

{A}

{(u_n)}

décroît (à partir d’un certain temps)

{B}

{(u_n)}

est convergente

Réponse

On a

{A\Rightarrow B}

(si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente).

On n'a pas ${B\Rightarrow A}$ . Considérons par exemple ${u_n=1/n}$ si ${n}$ est pair et ${u_n=0}$ si ${n}$ est impair.
Cette suite est positive, convergente (vers ${0}$ ), mais elle ne devient jamais décroissante.

{A}

{\forall\, n\in\mathbb{R},\;u_n\le u_{n+1}}

{B}

{\forall\, (n,m)\in\mathbb{N}^2,\;n\le m\Rightarrow u_n\le u_m}

Réponse

On a

{A\Leftrightarrow B}

. L'implication

{B\Rightarrow A}

est vraie (prendre le cas particulier

{m=n+1}

Ensuite, si ${A}$ est vraie, ${B}$ est vraie par une récurrence évidente sur l'entier ${m}$ (avec ${m\ge n+1}$ ).

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