Exercices corrigés
| Exercice 1. On pose {\begin{cases}u_0=1\\u_1=\cos(\theta)\end{cases}\;} et : {\forall n\ge2,\;u_n=2u_1u_{n-1}-u_{n-2}}. Calculer {u_n}, pour tout entier {n}. |
| Exercice 2. Soit {n} un entier naturel. Les équations suivantes sont à inconnues dans \mathbb{N}.
|
| Exercice 3. On sait que pour tout {n\ge1}, on a {\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nk^3=\Bigl(\sum\limits_{k=1}^nk\Bigr)^2} Inversement soit {(x_k)_{k\ge1}} une suite de {\mathbb{R}^{+*}}. On suppose que : {\forall n\ge1,\;\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n x_{k}^{3}=\Bigl(\sum\limits_{k=1}^n x_{k}\Bigr)^2}. Montrer que pour tout {k\in\mathbb{N}} on a {x_k=k}. |
| Exercice 4. On pose {u_n=1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n}. Montrer que pour tout entier {n\ge2}, u_n n’est pas un entier. |
| Exercice 5. Montrer que, pour tout {n\ge1}, on a : {\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots+\sqrt2}}}}=2\cos\dfrac\pi{2^{n+1}}}(le nombre {2} apparaissant {n} fois sous la racine). |