Soit {c\in\mathbb N^*}. On pose {u_0=2}, {u_1=4c-1} et {u_n=\left\lfloor\frac{u_{n-1}^2}{u_{n-2}}+\frac12\right\rfloor\quad(n\geq2)}On admet dans la première question que la suite est bien définie. Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) [P] Écrire
f(x,y) calculant {\lfloor x^2/y+1/2\rfloor}.1. (b) [P] Écrire
LU(c,n) renvoyant {[u_0,\ldots,u_n]}. Afficher les dix premiers termes pour {1\leq c\leq7}.2. Montrer que la suite est bien définie et monotone.
On définit {v_0=2}, {v_1=4c-1} et {v_n=(2c-1)v_{n-1}+cv_{n-2}} pour {n\geq2}.
3. (a) [P] Écrire
LV(c,n) et afficher les dix premiers termes pour une valeur {c\in\{1,\ldots,7\}}.3. (b) Calculer {u_2,u_3} et vérifier {u_2=v_2}, {u_3=v_3}.
3. (c) Pour {n\geq1}, posons {\delta_n=v_{n+1}v_{n-1}-v_n^2}. Relier {\delta_{n+1}} à {\delta_n}, puis calculer {\delta_n}.
3. (d) Étudier la monotonie de {w_n=c^n/v_n}.
3. (e) Montrer que {u_n=v_n} pour tout {n}.
3. (f) Donner un équivalent de {u_n}.