⇧ ① Systèmes X'=A(t)X+B(t) ou X'=A(t)X.
② Équations y″+a(t)y′+b(t)y=c(t) ou y″+a(t)y′+b(t)y=c(t). 1 ②
② Équations y″+a(t)y′+b(t)y=c(t) ou y″+a(t)y′+b(t)y=c(t). 1 ②
Équations {y''+a(t)y'+b(t)y=c(t)}
D. Équation d'ordre 2 à coefficients continus
Soit {a,b,c} trois fonctions continues sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On dit qu'une fonction {y :I\to \mathbb{K}} est solution de {(E) : y''+a(t)y'+b(t)y=c(t)}
On dit qu'une fonction {y :I\to \mathbb{K}} est solution de {(E) : y''+a(t)y'+b(t)y=c(t)}
- si la fonction {t\mapsto y(t)} est deux fois dérivable sur {I}.
- et si sur tout l'intervalle {I}, on a l'égalité {y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=c(t)}
R. Remarques
- on dit que {(E)} est une équation différentielle scalaire d’ordre 2. Les fonctions {a,b} en sont les coefficients, et la fonction {c} en est le second membre.
-
l'équation {(H) : y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=0} est appelée équation homogène associée à {(S)};
c'est le cas particulier correspondant à une fonction {c} identiquement nulle. - quand on dit «solution de {(E)}», c'est pour dire «solution sur l'intervalle {I} tout entier».
- toute solution de {(E)} ou de {(H)} est nécessairement de classe {{\mathcal C}^2} sur {I}.
R. Écriture sous la forme d'un système
On reprend les notations précédentes, notamment : {\begin{cases}
(E) : y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=c(t)\\(H) : y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=0
\end{cases}}Soit {t\mapsto y(t)}, deux fois dérivable de {I} dans {\mathbb{K}}.
On lui associe {t\mapsto X(t)=\begin{pmatrix}y(t)\\ y'(t)\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{K})}.
On lui associe {t\mapsto X(t)=\begin{pmatrix}y(t)\\ y'(t)\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{K})}.
L'équation {(E)} est alors équivalente à {\begin{pmatrix}y'(t)\\y''(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-b(t)&-a(t)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y(t)\\ y'(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\c(t)\end{pmatrix}} qui est du type {X'=A(t)X+B(t)}.
De même l'équation homogène {(H)} équivaut au système homogène {X'=A(t)X}.
P. Forme de l'ensemble des solutions
Soit {a,b,c} trois fonctions continues sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On suppose qu'on connait une solution particulière {y_{p}} de {(E) : y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=c(t)}.
Soit {y :I\to \mathbb{K}} une fonction deux fois dérivable sur {I}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
On suppose qu'on connait une solution particulière {y_{p}} de {(E) : y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=c(t)}.
Soit {y :I\to \mathbb{K}} une fonction deux fois dérivable sur {I}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
- la fonction {y} est solution de l'équation complète {(E)}
- la fonction {y-y_{p}} est solution de l'équation homogène {(H) : y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=0}.
En d'autres termes, la solution générale de {(E)} s'écrit comme la somme de la solution générale de {(H)} et d'une solution particulière de {(S)}.
Si on connait une solution particulière de {(S)}, tout revient donc à résoudre l'équation {(H)}.
P. Théorème de Cauchy linéaire
Soit {a,b,c} trois fonctions continues sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
Soit {t_{0}\in I}. Soit {y_{0}} et {m} dans {\mathbb{K}}.
L'équation {(E) : y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=c(t)} a une unique solution telle que {\begin{cases} y(t_{0})=y_{0}\cr y'(t_{0})=m \end{cases}}
La trouver, c'est «résoudre le problème de Cauchy» pour les conditions initiales {\begin{cases} y(t_{0})=y_{0}\cr y'(t_{0})=m \end{cases}}
Rappelons qu'elle est définie sur tout l'intervalle {I}.
Soit {t_{0}\in I}. Soit {y_{0}} et {m} dans {\mathbb{K}}.
L'équation {(E) : y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=c(t)} a une unique solution telle que {\begin{cases} y(t_{0})=y_{0}\cr y'(t_{0})=m \end{cases}}
La trouver, c'est «résoudre le problème de Cauchy» pour les conditions initiales {\begin{cases} y(t_{0})=y_{0}\cr y'(t_{0})=m \end{cases}}
Rappelons qu'elle est définie sur tout l'intervalle {I}.
P. Superposition des solutions
Soit {a,b,c} trois fonctions continues sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On suppose que {c(t)=\sum\limits_{k=1}^{p}\alpha_k\,c_{k}(t)}, où les {c_k} sont continues de {I}.
On suppose que pour {1\le k\le p} on connait une solution {y_{k}} de {(E_{k}) : y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=c_{k}(t)}.
Alors {y=\sum\limits_{k=1}^{p}\alpha_k\,y_{k}} est une solution de {(E)}.
On suppose que {c(t)=\sum\limits_{k=1}^{p}\alpha_k\,c_{k}(t)}, où les {c_k} sont continues de {I}.
On suppose que pour {1\le k\le p} on connait une solution {y_{k}} de {(E_{k}) : y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=c_{k}(t)}.
Alors {y=\sum\limits_{k=1}^{p}\alpha_k\,y_{k}} est une solution de {(E)}.
P. Solutions complexes avec coeffs réels
Soit {a\colon I\to\mathbb{R}}, {b\colon I\to\mathbb{R}} et {c\colon I\to\mathbb{C}} trois fonctions continues sur l'intervalle {I}.
Soit {y\colon I\to\mathbb{C}} une fonction deux fois dérivable. Les conditions suivantes sont équivalentes :
Soit {y\colon I\to\mathbb{C}} une fonction deux fois dérivable. Les conditions suivantes sont équivalentes :
- la fonction {y} est solution de l'équation {y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=c(t)}.
- la fonction {\overline{y}} est solution de l'équation {y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=\overline{c}(t)}.
Si ces conditions sont réalisées, alors :
- la fonction {\text{Re}(y)} est solution de l'équation {y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=\text{Re}(c(t))}.
- la fonction {\text{Im}(y)} est solution de l'équation {y''+a(t)\,y'+b(t)\,y=\text{Im}(c(t))}.
P. Dimension de l'espace des solutions
Soit {a} et {b} deux fonctions continues sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
L'ensemble {{\mathcal S}_{H}} des solutions de {(H) :y''+a(t)y'+b(t)y=0} est un plan vectoriel.
Soit {t_{0}\in I}. L'application {y\mapsto (y(t_{0}),y'(t_{0}))} est un isomorphisme de {{\mathcal S}_{H}} sur {\mathbb{K}^{2}}.
L'ensemble {{\mathcal S}_{H}} des solutions de {(H) :y''+a(t)y'+b(t)y=0} est un plan vectoriel.
Soit {t_{0}\in I}. L'application {y\mapsto (y(t_{0}),y'(t_{0}))} est un isomorphisme de {{\mathcal S}_{H}} sur {\mathbb{K}^{2}}.
E. Exercices conseillés
- Équation différentielle de Legendre
- Équation différentielle {y''=(1+x^4)y}
- Équation différentielle {(1-x)^3y''(x)=y(x)}
- Autour du lemme de Gronwall
- Intégrale et équation différentielle
- Équa. diff. linéaire d’ordre 2
- Équa. différentielle et série entière
- Équation fonctionnelle et série entière
- Équation différentielle du 2nd ordre