Dans tout le problème, {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb K} ({\mathbb R} ou {\mathbb C}).
Première partie
1. Soit {p} un projecteur de {E} et {u} un endomorphisme de {E}.
Montrer que {p} et {u} commutent si et seulement si {\ker p} et {\operatorname{Im}p} sont stables par {u}.
Montrer que {p} et {u} commutent si et seulement si {\ker p} et {\operatorname{Im}p} sont stables par {u}.
2. Soit {q} un projecteur de {E} et {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Montrer que {F} est stable par {q} si et seulement si {F=(F\cap\ker q)\oplus(F\cap\operatorname{Im}q)}.
Montrer que {F} est stable par {q} si et seulement si {F=(F\cap\ker q)\oplus(F\cap\operatorname{Im}q)}.
3. Déduire de ce qui précède que deux projecteurs {p,q} commutent si et seulement si :
{\begin{array}{rcl}E&=&(\ker p\cap\ker q)\oplus(\ker p\cap\operatorname{Im}q)\\[4pt]&&\oplus(\operatorname{Im}p\cap\ker q)\oplus(\operatorname{Im}p\cap\operatorname{Im}q).\end{array}}
{\begin{array}{rcl}E&=&(\ker p\cap\ker q)\oplus(\ker p\cap\operatorname{Im}q)\\[4pt]&&\oplus(\operatorname{Im}p\cap\ker q)\oplus(\operatorname{Im}p\cap\operatorname{Im}q).\end{array}}
Deuxième partie
Dans cette partie (sauf question 8), {p} et {q} sont deux projecteurs de {E} qui commutent.
On note :
{\begin{array}{ll}E_1=\ker p\cap\ker q,&E_2=\ker p\cap\operatorname{Im}q,\\[4pt]E_3=\operatorname{Im}p\cap\ker q,&E_4=\operatorname{Im}p\cap\operatorname{Im}q.\end{array}}Pour {k\in\{1,2,3,4\}}, on note {\pi_k} la projection de {E} sur {E_k} parallèlement à {\bigoplus\limits_{j\ne k}E_j}.
On notera {x=x_1+x_2+x_3+x_4} la décomposition d’un vecteur {x} de {E} suivant {E=E_1\oplus E_2\oplus E_3\oplus E_4}.
1. (a) Calculer {p(x)}, {q(x)}, {p\circ q(x)} en fonction de {x_1,x_2,x_3,x_4}.
1. (b) Pour {p} et {q}, que représentent {E_1\oplus E_2}, {E_3\oplus E_4}, {E_1\oplus E_3}, et {E_2\oplus E_4} ?
1. (c) Montrer que {p\circ q} est un projecteur. En préciser le noyau et l’image en fonction de ceux de {p} et {q}.
2. Exprimer les projecteurs {\operatorname{Id}_E,p,q} et {p\circ q} en fonction de {\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4} et réciproquement.
3. Pour tous {(i,j)} de {\{1,2,3,4\}^2}, calculer {\pi_i\circ\pi_j}.
4. En déduire que :
{\begin{array}{l}\forall(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\in\mathbb K^4,\ \forall n\in\mathbb N,\\[4pt](\alpha\pi_1+\beta\pi_2+\gamma\pi_3+\delta\pi_4)^n\\[4pt]\quad=\alpha^n\pi_1+\beta^n\pi_2+\gamma^n\pi_3+\delta^n\pi_4.\end{array}}
{\begin{array}{l}\forall(\alpha,\beta,\gamma,\delta)\in\mathbb K^4,\ \forall n\in\mathbb N,\\[4pt](\alpha\pi_1+\beta\pi_2+\gamma\pi_3+\delta\pi_4)^n\\[4pt]\quad=\alpha^n\pi_1+\beta^n\pi_2+\gamma^n\pi_3+\delta^n\pi_4.\end{array}}
5. Exprimer {(\alpha\operatorname{Id}_E+\beta p+\gamma q+\delta p\circ q)^n} en fonction de {\operatorname{Id}_E,p,q}, et {p\circ q}.
6. Montrer que :
6. (a) {E_1=\{\vec0\}\Longleftrightarrow p\circ q=p+q-\operatorname{Id}_E}.
6. (b) {E_2=\{\vec0\}\Longleftrightarrow p\circ q=q}.
6. (c) {E_3=\{\vec0\}\Longleftrightarrow p\circ q=p}.
6. (d) {E_4=\{\vec0\}\Longleftrightarrow p\circ q=0}.
7. (a) Montrer qu’en dehors des cas ci-dessus, la famille {\operatorname{Id}_E,p,q,p\circ q} est libre dans {\mathcal L(E)}.
7. (b) Déterminer dans ce cas tous les projecteurs de {E} qui sont combinaisons linéaires de {\operatorname{Id}_E,p,q}, et {p\circ q} (on en trouve {16}).
7. (c) Déterminer les images et noyaux de ces projecteurs en fonction de ceux de {p} et {q}.
8. {p} et {q} sont maintenant deux projecteurs quelconques de {E}.
8. (a) Montrer que {p+q} est un projecteur de {E\Longleftrightarrow p\circ q=q\circ p=0}.
8. (b) Donner alors le noyau et l’image de ce projecteur en fonction de ceux de {p} et {q}.