Les questions [P] utilisent Python. On définit
{A=\begin{pmatrix}0&1&1&0\\[4pt]-1&-2&1&-2\\[4pt]2&6&-1&4\\[4pt]4&8&-4&7\end{pmatrix}}
1. (a) [P] Former {A}, puis {B=A-I_4}. Calculer {B^2} et {B^3}.
1. (b) Déterminer la forme factorisée du polynôme caractéristique de {A}.
1. (c) Déterminer une matrice inversible {P} telle que {P^{-1}AP=D+N}, avec {D} diagonale et
{N=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\[4pt]0&0&1&0\\[4pt]0&0&0&1\\[4pt]0&0&0&0\end{pmatrix}}
{N=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\[4pt]0&0&1&0\\[4pt]0&0&0&1\\[4pt]0&0&0&0\end{pmatrix}}
2. (a) Montrer qu’il existe des suites {\alpha_n,\beta_n,\gamma_n} telles que {A^n=\alpha_nA^2+\beta_nA+\gamma_nI_4} pour {n\in\mathbb N}, et déterminer leurs termes généraux.
Pour {x\in\mathbb R}, on note {C(x)} la matrice obtenue en remplaçant {n} par {x} dans cette formule. On sait déjà que {C(n)=A^n} pour {n\in\mathbb N}.
2. (b) [P] Écrire
C(x) et vérifier que C(5) donne {A^5}.2. (c) Montrer que {C(-n)=A^{-n}} pour tout {n\in\mathbb N}.
2. (d) [P] Vérifier tout ou partie du résultat précédent.
3. (a) Pour {n\ge1}, écrire le développement limité de {(1+x)^{1/n}} en {0} à l’ordre {2}. En déduire une solution {X} de {X^n=A}.
3. (b) Vérifier que cette matrice {X} est {C(1/n)}.
3. (c) [P] Former une matrice {X} telle que {X^5=A}.
4. S’inspirer de la méthode précédente pour trouver {Y} telle que {e^Y=A}, où {e^Y=\sum\limits_{k\ge0}Y^k/k!}.
Complément proposé dans le corrigé
5. Résoudre le système différentiel {X^\prime(t)=AX(t)}.
Indications Python
np.array construit une matrice et np.eye l’identité. A.dot(B) ou A @ B donne un produit matriciel ; np.linalg.matrix_power(A,n) calcule une puissance. np.hstack assemble les colonnes et np.linalg.inv calcule l’inverse.