Soit {n\ge2}. Pour {A\in M_n(\mathbb R)}, on note {\operatorname{Sp}(A)} son spectre complexe et {\rho(A)=\max_{\lambda\in\operatorname{Sp}(A)}|\lambda|}. On identifie {A} à l’endomorphisme canoniquement associé.
Une matrice {A=(a_{i,j})} est stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et si chaque ligne somme à {1}. On note {\mathcal H_n(\mathbb R)} l’ensemble de ces matrices. Les questions [P] utilisent Python.
1. [P] Soit
{A=\begin{pmatrix}0,4&0,1&0,2&0,3\\[4pt]0,1&0,3&0,5&0,1\\[4pt]0,3&0,1&0,1&0,5\\[4pt]0,2&0,2&0,2&0,4\end{pmatrix}}Montrer que {A\in\mathcal H_4(\mathbb R)}, déterminer ses éléments propres et son rayon spectral, puis afficher {A^{100}}. Pour un vecteur propre de {A^t} associé à sa valeur propre de module maximal, déterminer le vecteur de sa droite propre à coordonnées positives et de somme {1}.
{A=\begin{pmatrix}0,4&0,1&0,2&0,3\\[4pt]0,1&0,3&0,5&0,1\\[4pt]0,3&0,1&0,1&0,5\\[4pt]0,2&0,2&0,2&0,4\end{pmatrix}}Montrer que {A\in\mathcal H_4(\mathbb R)}, déterminer ses éléments propres et son rayon spectral, puis afficher {A^{100}}. Pour un vecteur propre de {A^t} associé à sa valeur propre de module maximal, déterminer le vecteur de sa droite propre à coordonnées positives et de somme {1}.
2. Montrer que {\mathcal H_n(\mathbb R)} est compacte et stable par produit.
3. Pour {A\in\mathcal H_n(\mathbb R)}, montrer que {1} est valeur propre et que {\rho(A)\le1}. On pourra prendre une coordonnée de module maximal d’un vecteur propre et encadrer {|\lambda-a_{i,i}|}.
À partir de maintenant, {A} est stochastique et tous ses coefficients sont strictement positifs.
4. Montrer que {1} est la seule valeur propre de module {1}.
On pose {\mu=\min_{i,j}a_{i,j}\gt0}. Pour {y\in\mathbb R^n}, on note {y^- =\min_jy_j}, {y^+=\max_jy_j} et {\delta(y)=y^+-y^-}. On a {0\lt\mu\le1/n\le1/2}.
5. (a) Montrer que {y^-\le(Ay)^-\le(Ay)^+\le y^+}. En déduire, pour tout {k\ge0},
{\begin{array}{l}y^-\le(A^ky)^-\le(A^{k+1}y)^-\\[4pt]\le(A^{k+1}y)^+\le(A^ky)^+\le y^+\end{array}}
{\begin{array}{l}y^-\le(A^ky)^-\le(A^{k+1}y)^-\\[4pt]\le(A^{k+1}y)^+\le(A^ky)^+\le y^+\end{array}}
5. (b) Choisir {i_0,j_0} tels que {(Ay)_{i_0}=(Ay)^+} et {y_{j_0}=y^-}. Montrer que {(Ay)^+\le y^+-a_{i_0,j_0}\delta(y)\le y^+-\mu\delta(y)}. On admet de même {(Ay)^-\ge y^-+\mu\delta(y)}. En déduire {\delta(Ay)\le(1-2\mu)\delta(y)}.
6. (a) Soit {y\ge0}, {y\ne0}. Montrer qu’il existe {\ell_y\gt0} tel que {A^ky\to(\ell_y,\ldots,\ell_y)^t}.
6. (b) En déduire que {(A^k)} converge vers une matrice stochastique {\widehat A} de rang {1}, dont les lignes sont égales à un vecteur stochastique strictement positif {\widehat a}. Caractériser la projection vectorielle de matrice {\widehat A}.
7. (a) Montrer que {1} est valeur propre simple. On pourra considérer une réduite triangulaire de {A}.
7. (b) Montrer que {\widehat aA=\widehat a} et que {\widehat a^t} est l’unique vecteur stochastique de la droite propre de {A^t} pour la valeur propre {1}.
8. On suppose en plus {A} bistochastique, c’est-à-dire {A} et {A^t} stochastiques. Caractériser {\widehat A}.