Problèmes de sommations

Problème 1.
Pour tout {n\in\mathbb{N}}, on pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k\,2^{k}}.
On va calculer {S_{n}} de plusieurs manières.

  1. Avec Python, calculer {S_{n}} pour {0\le n\le 10}.
  2. Considérer {S_{n+1}=S_{n}+(n+1)2^{n+1}}.
    Reconnaître {2S_{n}} et conclure.
  3. Remarquer que {k=\displaystyle\sum_{j=1}^{k}1}.
    Terminer par une interversion de sommations.
  4. Si {u_{n}=(n-2)2^{n}}, que vaut {u_{n+1}-u_{n}}? donc ?
  5. Simplifier {f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}x^{k}} pour {x\ne1}.
    Calculer {f'(x)} puis conclure.

Problème 2.

  1. On pose {S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}}, pour {n\in\mathbb{N}^{*}}.

    • En utilisant le module fractions de Python, calculer {S_{n}} de façon exacte, pour {1\le n\le 10}.
    • en utilisant un papier et un crayon, calculer {S_{n}} pour {n\ge1} (deux méthodes).
  2. Pour {n\ge1}, soit {T_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}}.

    • Première méthode : trouver {a,b,c} tels que : {\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}=\dfrac{a}{k}+\dfrac{b}{k+1}+\dfrac{c}{k+2}}et conclure.
    • Deuxième méthode, avec {v_{k}=\dfrac{1}{k(k+1)}}.
      Former {v_{k}-v_{k+1}} et conclure.
  3. Soit {m} fixé dans {\mathbb{N}^{*}}.
    Calculer {U_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)\cdots(k+m)}} en fonction de {n}.

Problème 3.
On se donne un réel {a} de {]0,1[}.
Pour tout entier {n\ge1} on pose :{u_n=\displaystyle\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{a^k}{(1-a^k)(1-a^{k+1})}}On se propose de montrer que {u_n=\dfrac{a(1-a^n)}{(1-a)^2(1-a^{n+1})}}

  1. Vérifier que c’est vrai si {1\le n\le3}.
    Conclure par récurrence sur {n}.
  2. Autre méthode : considérer {(1-a)u_{n}} et conclure par télescopage.

Problème 4.
On se donne les réels {(a_{k})_{1\le k\le n}} et {(b_{k})_{1\le k\le n}}.
On définit les quantités :{A_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k},\;B_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}b_{k},\;C_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}On note {D=\displaystyle\sum_{1\le j\lt k\le n}(a_{k}-a_{j})(b_{k}-b_{j})}.

  1. Montrer que :{D=\dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{1\le j,k\le n}(a_{k}-a_{j})(b_{k}-b_{j})}Exprimer {D} en fonction de {A,B,C}.
  2. En déduire que :

    • si les suites {(a)} et {(b)} sont de même monotonie, {AB\le nC}.
    • si elles sont de monotonies contraires, alors : {AB\ge nC}.

    NB : on définit les moyennes arithmétiques {\sigma_A=\dfrac{1}{n}A_n,\;\sigma_B=\dfrac{1}{n}B_n,\;\sigma_C=\dfrac{1}{n}C_n}On a ainsi comparé, quand les suites {(a)} et {(b)} sont monotones, la moyenne arithmétique de la suite {(c)} des {c_k=a_kb_k} avec le produit des moyennes arithmétiques des suites {(a)} et {(b)}.