Exercices corrigés
| Exercice 1. Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac1{n(n+1)}} est convergente, et de somme {1}. |
| Exercice 2. Montrer que la série {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac1n} est divergente. |
| Exercice 3. Soit {(u_n)} une suite de {\mathbb{R}^+}. On suppose que la série {\sum n^2u_n^2} converge. Montrer qu’il en est de même de {\sum u_n}. |
| Exercice 4. Soit {(u_n)} et {(v_n)} deux suites de {\mathbb{R}^{+*}}. On suppose : {\forall\,n\ge n_0,\;\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\le\dfrac{v_{n+1}}{v_n}}. On suppose que {\sum v_n} converge. Montrer que {\sum u_n} converge. |
| Exercice 5. Soient {(u_n)} et {(v_n)} deux suites de {\mathbb{R}^+}. On suppose que {\sum u_{n}} et {\sum v_{n}} convergent. Montrer que {\sum\sqrt{u_{n}v_{n}}} converge. |
| Exercice 6. En minorant par une série divergente, retrouver la divergence de {\displaystyle\sum_{n\ge1}\dfrac{1}{n}}. |
| Exercice 7. Soit {u_{n}=\left( \dfrac{\ln (n\!+\!1)}{\ln n}\right) ^{n}}. Préciser {\displaystyle\lim_{+\infty}u_n}. Quelle est la nature de la série {\displaystyle\sum_{n\ge2}\dfrac{u_{n}-1}{n}}? |
Exercice 8.
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