Pavages et clans

Rappels

Soit {E} un ensemble et {(A_i)_{i\in I}} une famille quelconque de parties de {E}. On rappelle que :
{\begin{array}{l}\displaystyle\bigcup_{i\in I}A_i=\{x\in E:\exists i\in I,\ x\in A_i\}\\[4pt]\displaystyle\bigcap_{i\in I}A_i=\{x\in E:\forall i\in I,\ x\in A_i\}\end{array}}Une suite {(A_n)_{n\geq0}} de parties de {E} est dite croissante si {A_n\subset A_{n+1}} pour tout {n}, et décroissante si {A_n\supset A_{n+1}} pour tout {n}.

Première partie

Soit {E} un ensemble quelconque et {\mathcal P} une partie de {\mathcal P(E)}. On dit que {\mathcal P} est un pavage si :
{A,B\in\mathcal P\Rightarrow\begin{cases}A\cup B\in\mathcal P\\[4pt]A\cap B\in\mathcal P\end{cases}}On dit que le pavage est achevé si la réunion {\bigcup\limits_{n\geq0}A_n} de toute suite croissante d’éléments de {\mathcal P} appartient à {\mathcal P}, et si l’intersection {\bigcap\limits_{n\geq0}A_n} de toute suite décroissante d’éléments de {\mathcal P} appartient à {\mathcal P}.

1. Vérifier que {\varnothing} et {\mathcal P(E)} sont des pavages achevés de {E}.

2. Donner tous les pavages de {E} quand {E=\varnothing}, ou {E=\{a\}}, ou {E=\{a,b\}}.

Dans cette question, on suppose {E} fini. Soit {(A_n)_{n\geq0}} une suite croissante ou décroissante de parties de {E}.

3. (a) Montrer que la suite {(A_n)_{n\geq0}} est stationnaire. Autrement dit, il existe un entier {p} tel que, pour tout {n\geq p}, {A_n=A_p}.

3. (b) En déduire que tout pavage de {E} est achevé.

Soient {\mathcal P_1} et {\mathcal P_2} deux pavages de {E}.

4. (a) L’union {\mathcal P_1\cup\mathcal P_2} est-elle un pavage de {E} ?

4. (b) L’intersection {\mathcal P_1\cap\mathcal P_2} est-elle un pavage de {E} ?

Soit {\mathcal P} un pavage de {E}.

5. (a) Montrer que la famille des pavages achevés de {E} qui contiennent {\mathcal P} est non vide.

On note {\widehat{\mathcal P}} l’intersection de tous les pavages de cette famille.

5. (b) Montrer que {\widehat{\mathcal P}} est lui-même un pavage achevé contenant {\mathcal P}.

5. (c) Réciproquement, montrer que si un pavage achevé contient {\mathcal P}, alors il contient {\widehat{\mathcal P}}.
{\widehat{\mathcal P}} est donc, au sens de l’inclusion, le plus petit pavage achevé contenant {\mathcal P}. On dit que c’est le pavage achevé engendré par {\mathcal P}.

5. (d) À quelle condition a-t-on {\mathcal P=\widehat{\mathcal P}} ?

Soit {\mathcal P} un pavage de {E}. On note :
{\mathcal P_m=\{B\subset E:\forall A\in\mathcal P,\ B\cap A\in\mathcal P\}}

6. (a) Montrer que {\mathcal P_m} est un pavage de {E} qui contient {\mathcal P}.

6. (b) Montrer que si {\mathcal P} est achevé, alors {\mathcal P_m} est achevé.

Deuxième partie

Rappel : on note {\overline F} le complémentaire dans {E} d’une partie {F} quelconque de {E}.

On dit qu’un pavage {\mathcal P} de {E} est un clan si :
{\forall A,B\in\mathcal P,\quad A\cap\overline B\in\mathcal P}

1. Vérifier que {\varnothing} et {\mathcal P(E)} sont des clans de {E}.

2. Donner tous les clans de {E} quand {E=\varnothing}, ou {E=\{a\}}, ou {E=\{a,b\}}.

3. Montrer que si {\mathcal P} est un clan de {E} alors {\mathcal P_m} est un clan de {E}.

On se donne un clan {\mathcal P} de {E}. On veut montrer que {\widehat{\mathcal P}} est un clan de {E}.

4. (a) Soit {A} une partie de {E}. On note :
{\mathcal E_A=\{B\subset E:A\cap\overline B\in\widehat{\mathcal P}\}}Montrer que {\mathcal E_A} est un pavage de {E}.

4. (b) Prouver que le pavage {\mathcal E_A} est achevé.

4. (c) En déduire que si {A} appartient à {\mathcal P}, alors {\widehat{\mathcal P}} est inclus dans {\mathcal E_A}.

4. (d) Soit {B} une partie de {E}. On note :
{\mathcal F_B=\{A\subset E:A\cap\overline B\in\widehat{\mathcal P}\}}Montrer que {\mathcal F_B} est un pavage achevé de {E}.

4. (e) En déduire que si {B} appartient à {\widehat{\mathcal P}}, alors {\widehat{\mathcal P}} est inclus dans {\mathcal F_B}.

4. (f) Conclure.