Groupes et sous-groupes (4/5)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Montrer que {\mathbb{R}}, muni de la loi {x\star y=(x^3+y^3)^{1/3}} est un groupe.

Exercice 2.
Montrer qu’un groupe fini d’ordre premier est cyclique.

Exercice 3.
Soit {G} un groupe dans lequel on a toujours {(xy)^2=x^2y^2}.
Montrer que G est commutatif.

Exercice 4.
Montrer qu’un groupe {G} où tout {x} vérifie {x^2=e} est abélien.

Exercice 5.
Soit {G} un groupe fini dans lequel tout élément vérifie {x^2=e}.

  1. Montrer que le groupe {G} est abélien.
  2. On fixe un élément {a} de {G}, distinct du neutre {e}.
    Pour tout {x\in G}, on note {\overline{x}=\{x,ax\}}.
    On définit une relation {\mathcal{R}} sur {G} par : {x\mathcal{R} y\Leftrightarrow y\in\overline{x}}.

    Montrer que {\mathcal{R}} est une relation d’équivalence.

  3. Soit {H} l’ensemble des différentes classes d’équivalences{\overline x}, quand {x} parcourt {G}.
    Quel est le cardinal de {H}?
  4. Montrer que {H} muni de {\overline{x}\star\overline{y}=\overline{xy}} est un groupe.
    Vérifier que {H} satisfait à la même hypothèse que {G}.
  5. Montrer que le cardinal de {G} est une puissance de {2}.

Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.