Faisceaux de cercles

On se place dans le plan euclidien {\mathbb R^2}. On note {C(\Omega,r)} le cercle de centre {\Omega} et de rayon {r\gt0}. Tous les cercles considérés ont un rayon strictement positif. Pour deux points {A,B}, {AB} désigne leur distance.

I. Cercles orthogonaux

Les cercles {C(\Omega_1,r_1)} et {C(\Omega_2,r_2)} sont dits orthogonaux si {\Omega_1\Omega_2=\sqrt{r_1^2+r_2^2}}.

I. 1. Montrer que deux cercles sont sécants en deux points distincts si et seulement si {|r_2-r_1|\lt\Omega_1\Omega_2\lt r_1+r_2}. En déduire que deux cercles orthogonaux sont sécants.

I. 2. Soit {A} un point commun de deux cercles sécants. Montrer qu’ils sont orthogonaux si et seulement si leurs tangentes en {A} sont orthogonales.

I. 3. Pour {C_1=C(\Omega_1,r_1)} et un point {\Omega_2}, montrer que {\Omega_2} est centre d’un cercle orthogonal à {C_1} si et seulement s’il est extérieur à {C_1}. Montrer l’unicité et donner une construction à la règle et au compas.

Pour {v=(a,b,c)\in\mathbb R^3}, on pose {\Phi_v(x,y)=x^2+y^2-2ax-2by+c} et {\Gamma(v)=\{M:\Phi_v(M)=0\}}. Pour {v_i=(a_i,b_i,c_i)}, on définit {\varphi(v_1,v_2)=2(a_1a_2+b_1b_2)-c_1-c_2}.

I. 4. (a) Discuter la nature de {\Gamma(v)}. Vérifier que c’est un cercle si et seulement si {\varphi(v,v)\gt0}.

I. 4. (b) Si {\Gamma(v_1),\Gamma(v_2)} sont des cercles, montrer qu’ils sont orthogonaux si et seulement si {\varphi(v_1,v_2)=0}.

I. 5. (a) Déterminer et représenter les cercles orthogonaux à {(x+1)^2+y^2=1} et {(x-2)^2+y^2=4}.

I. 5. (b) Même question pour {(x-2)^2+y^2=7} et {(x+1)^2+y^2=4}.

I. 5. (c) Même question pour {(x-2)^2+y^2=1} et {(x+3)^2+y^2=6}. Vérifier que les cercles obtenus passent par deux points fixes.

II. Axe radical de deux cercles

La puissance de {M} par rapport à {C(\Omega,r)} est {P_C(M)=\Omega M^2-r^2}. Elle est positive à l’extérieur, nulle sur le cercle et négative à l’intérieur. Dans les produits sur une droite orientée, les mesures {\overline{MP}} sont algébriques.

II. 1. (a) Pour {A,B} diamétralement opposés sur {C}, montrer {P_C(M)=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}}.

II. 1. (b) Une droite passant par {M} rencontre {C} en {P,Q}. Montrer par deux méthodes que {\overline{MP}\,\overline{MQ}=P_C(M)}. Que devient la formule pour une tangente ?

II. 1. (c) Deux droites distinctes se coupent en {M}. Soient {P,Q} distincts sur la première, {R,S} distincts sur la seconde, les quatre points étant distincts de {M}. Si {\overline{MP}\,\overline{MQ}=\overline{MR}\,\overline{MS}}, montrer qu’ils sont cocycliques.

Pour deux cercles non concentriques {C_1,C_2}, l’axe radical {\Delta(C_1,C_2)} est l’ensemble des points ayant la même puissance par rapport aux deux cercles.

II. 2. (a) Montrer que l’axe radical est une droite perpendiculaire à {(\Omega_1\Omega_2)}.

II. 2. (b) Identifier l’axe radical lorsque les cercles sont tangents ou sécants.

II. 2. (c) Pour deux cercles disjoints non concentriques, construire leur axe radical à la règle et au compas, avec deux cercles auxiliaires. Illustrer les cas extérieur et intérieur.

II. 3. Montrer que {\Omega} est centre d’un cercle orthogonal à {C_1,C_2} si et seulement s’il est extérieur aux deux cercles et appartient à leur axe radical.

II. 4. (a) Pour trois cercles dont les centres ne sont pas alignés, montrer l’existence d’un unique point de même puissance par rapport aux trois. On l’appelle centre radical.

II. 4. (b) Montrer que l’orthocentre de {ABC} est le centre radical des cercles de diamètres {AB,AC,BC}.

II. 4. (c) Pour trois cercles deux à deux orthogonaux, montrer que leur centre radical est l’orthocentre du triangle de leurs centres.

III. Faisceaux de cercles

Pour une droite {D} et un cercle {C}, on note {F(D,C)} l’ensemble constitué de {C} et des cercles {C'} dont l’axe radical avec {C} est {D}.

III. 1. (a) Si {D} coupe {C} en deux points distincts {A,B}, montrer que {F(D,C)} est l’ensemble des cercles passant par {A,B}. Illustrer ce faisceau de points de base {A,B}.

III. 1. (b) Si {D} est tangente à {C} en {A}, montrer que {F(D,C)} est l’ensemble des cercles tangents à {D} en {A}. Illustrer.

III. 1. (c) Supposons {D\cap C=\varnothing}. Soit {H} le projeté du centre {\Omega} sur {D}, et {\widehat C} le cercle de centre {H} orthogonal à {C}. Montrer que {F(D,C)} est l’ensemble des cercles centrés sur {(\Omega H)} et orthogonaux à {\widehat C}. Ses points-limites sont {J,K=\widehat C\cap(\Omega H)}. Illustrer.

III. 2. (a) Pour trois cercles deux à deux non concentriques, si {\Delta(C_1,C_2)=\Delta(C_1,C_3)=D}, montrer que {\Delta(C_2,C_3)=D}.

III. 2. (b) Pour {C,C'} non concentriques, montrer
{C'\in F(D,C)\iff C\in F(D,C')\iff F(D,C)=F(D,C')}

Soit {D} d’équation {f(x,y)=\alpha x+\beta y+\gamma=0}, avec {(\alpha,\beta)\ne(0,0)}, et {C} d’équation {\Phi(x,y)=x^2+y^2-2ax-2by+c=0}.

III. 3. (a) Montrer que {P_C(M)=\Phi(M)}.

III. 3. (b) En déduire que tout cercle du faisceau a une équation {\Phi+\lambda f=0}, avec {\lambda\in\mathbb R}.

III. 3. (c) Montrer que tout point hors de {D} appartient à un unique cercle du faisceau, sauf s’il est un point-limite, auquel cas l’unique équation obtenue définit un cercle de rayon nul.

III. 4. (a) Si un cercle {C'} est orthogonal à deux cercles distincts d’un faisceau {F}, montrer qu’il est orthogonal à tous ses cercles. Utiliser I.4 et l’équation générale du faisceau.

III. 4. (b) Montrer que {C'} est orthogonal au faisceau entier si et seulement s’il est centré sur {D} et orthogonal à {C}.

III. 5. Montrer que les cercles orthogonaux à tous ceux d’un faisceau {F} forment un faisceau {F'}. Décrire ce faisceau conjugué dans les trois cas de III.1.

III. 6. Pour un cercle {C} du faisceau de points-limites {A,B}, montrer qu’il existe {\lambda\gt0}, {\lambda\ne1}, tel que {MA/MB=\lambda} pour tout {M\in C}. Quelle propriété analogue obtient-on pour un cercle du faisceau de points de base {A,B} ?