Équivalents et intégrales

(Oral Mines-Ponts)

  1. Nature de {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin t}{t}\text{d}t} et {\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\left|{\sin t}\right|}{t}\text{d}t}
  2. Soit {g} continue et 2\pi-périodique.
    On suppose {\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\!\!g(t)\text{d}t = 0}.
    Montrer que {G(x)\!=\!\!\displaystyle\int_{0}^{x}\!\!g(t)} est périodique
  3. Soit {\delta\in\,]\,0,1[}. Donner un équivalent de :{F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{\left|{\sin t}\right|}{t^{\delta}}\text{d}t\;\text{en}\;+\infty}