Équations dans P(E)

Soit {E} un ensemble.
Pour toute partie {A} de {E}, on note {\overline A} le complémentaire de {A} dans {E}.

Soit {A} une partie de {E}. On cherche à caractériser les solutions {(X,Y)} de l’équation {X\cap Y=A}.

1. (a) Soit {A} une partie de {E}. Montrer que pour tout couple {(R,S)} de parties de {E}, les ensembles
{\begin{cases}X=A\cup(R\cap\overline S)\\[4pt]Y=A\cup(\overline R\cap S)\end{cases}}vérifient {X\cap Y=A}.

1. (b) Montrer que, réciproquement, toute solution {(X,Y)} de {X\cap Y=A} est de la forme ci-dessus pour, au moins, un couple {(R,S)} de parties de {E}.

1. (c) Conclure.

Étudier de même l’équation {X\cup Y=A}. On donnera deux démonstrations pour cette question :

2. (a) Une méthode analogue à la précédente, avec
{\begin{cases}X=A\cap(R\cup\overline S)\\[4pt]Y=A\cap(\overline R\cup S)\end{cases}}

2. (b) Une méthode qui utilise le résultat de la question précédente.

Dans cette question, on désire étudier l’équation {(A\cap X)\cup(B\cap\overline X)=C}, où {A,B,C} sont des parties données de {E}, {X} étant une partie inconnue de {E}.

On suppose que {X_0} est solution de cette équation.

3. (a) i. Montrer que {A\cap B\subset C} et {C\subset A\cup B}.

3. (a) ii. Montrer que :
{\begin{array}{l}(\overline B\cap C)\cup(B\cap\overline C)\\[4pt]\quad\cup[X_0\cap((A\cap B)\cup(\overline A\cap\overline B))]=X_0\end{array}}

On suppose que {A\cap B\subset C\subset A\cup B}.

{D} étant une partie de {E}, on pose :
{\begin{array}{rl}X={}&(\overline B\cap C)\cup(B\cap\overline C)\\[4pt]&\cup[D\cap((A\cap B)\cup(\overline A\cap\overline B))]\end{array}}Démontrer que :

3. (b) i. {A\cap X=C\cap[\overline B\cup(D\cap A\cap B)]}.

3. (b) ii. {\overline B\cup X=\overline B\cup(B\cap\overline C)\cup(D\cap A\cap B)}.

3. (b) iii. {B\cap\overline X=C\cap[\overline A\cup(\overline D\cap B)]}.

3. (c) En déduire {(A\cap X)\cup(B\cap\overline X)}.

3. (d) Donner une condition nécessaire et suffisante, portant sur {A,B,C}, pour que l’équation {(A\cap X)\cup(B\cap\overline X)=C} ait au moins une solution.

3. (e) Donner alors la forme générale de la solution.