Endomorphismes tels que f2 = -Id

(Oral Xcachan)
Soit {E} un {\mathbb{R}}-espace vectoriel de dimension finie.
Soit {f\in\mathcal{L}(E)} tel que {f^2=-\text{Id}_{E}}.

  1. Donner un exemple en dimension {2}.
  2. Montrer que {f} n’a pas de valeur propre. En déduire que {\dim(E)} est paire.
  3. Pour tout {x\ne 0}, soit {F_x=\text{Vect}\{x,f(x)\}}.
    Montrer que {F_x} est un plan stable par {f}.
  4. On pose {\dim (E)=2n}, avec {n\ge1}.
    Montrer qu’il existe une base {(e_{1},f(e_{1}),\ldots,e_{n},f(e_{n}))} de {E}.
  5. Écrire la matrice de {f} dans cette base.