Soit {S} l’ensemble des suites réelles vérifiant {z_{n+2}=z_{n+1}/(n+1)+z_n} pour {n\geq0}. On note {\alpha,\beta} les suites de {S} définies par {\alpha_0=\alpha_1=1} et {\beta_0=0}, {\beta_1=1}. Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) [P] Écrire
Z(n,a,b), renvoyant {[z_0,\ldots,z_n]} pour la suite de {S} issue de {z_0=a}, {z_1=b}.1. (b) [P] Afficher les vingt premiers termes de {\alpha} et {\beta} et faire les observations appropriées.
1. (c) [P] Conjecturer la limite de {\alpha_n/\beta_n}.
1. (d) Expliciter {\alpha_n} et {\beta_n}.
1. (e) Déterminer la limite du quotient {\alpha_n/\beta_n}.
Pour {x>0}, on définit maintenant {u_0=x} et {u_{n+1}=\frac1{u_n+1/(n+1)}}Tous les termes sont strictement positifs.
2. (a) [P] Écrire une fonction renvoyant {[u_0,\ldots,u_n]} en fonction du rang {n} et de {x}.
2. (b) [P] Écrire
plotU(x) traçant les points {(k,u_k)} pour {0\leq k\leq99}. Tracer pour {x=1,7,15} et conjecturer la convergence et sa dépendance en {x}.3. Montrer qu’il existe {a,b\in S} tels que {u_n=(a_nx+b_n)/(a_{n+1}x+b_{n+1})}. Expliciter {a_n,b_n} à l’aide de {\alpha_n,\beta_n}.
4. Montrer que {(u_n)} converge et déterminer sa limite.