Exercices corrigés
| Exercice 1. Montrer qu’il n’existe pas de fonction continue {f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telle que : – L’image de tout rationnel est un irrationnel. – L’image de tout irrationnel est un rationnel. |
| Exercice 2. Soit {f:I\rightarrow\mathbb{R}}, continue injective. Montrer que {f} est strictement monotone. |
| Exercice 3. Soit {f,g} continues de {[0,1]} dans lui-même, telles que {g\circ f=f\circ g}. Montrer qu’il existe {x_{0}} dans {[0,1]} tel que {f(x_{0})=g(x_{0})}. |
| Exercice 4. Déterminer les {f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}} telles que : {\forall (x,y)\in\mathbb{R}^2,\;|f(x)-f(y)|=|x-y|}. |
| Exercice 5. Soit {f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}}, continue, avec {f(0)=f(1)}.
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| Exercice 6. On pose, pour {n\in \mathbb{N}^*} et {x\in\mathbb{R}^+} : {f_n(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x-1}
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| Exercice 7. Résoudre l’équation {3^{x}+4^{x}=5^{x}} dans {\mathbb{R}}. |