Ens Mp/Mpi Orthogonalité - Mathprepa

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Ens Mp/Mpi Orthogonalité - Mathprepa

Ens Mp/Mpi Orthogonalité

Planches Ens (Mp/Mp
Espaces préhilbertiens ou euclidiens

Quelques espaces tangents

Vecteurs tangents au groupe orthogonal, aux exponentielles de matrices de trace 0,…

Dérivées des valeurs propres

Comment les valeurs propres simples de

{A\in\mathcal S_n(\mathbb{R}^+)}

varient-elles sous perturbation ?

Rotations de Jacobi

Utiliser une rotation plane pour annuler un coeff. non diagonal de

{A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}

.

Réduction et valeurs singulières

À partir des valeurs propres de

{A^TA}

, former la décomposition en valeurs singulières.

Ordre sur les matrices symétriques

Dans

{\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}

,

{A\geqslant B\Leftrightarrow A\!-\!B\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})}

.
Montrer que toute suite majorée converge.

Théorème spectral et compacité

Démonstration du théorème spectral par un argument de compacité.

Une inégalité de Minkowski

Comparer

{\det(A\!+\!B)^{1/n}}

et

{\det(A)^{1/n}\!\!+\!\det(B)^{1/n}}

pour

{A,B\in \mathcal{S}_{n}(\mathbb{R})}

.

Racines de polynôme, matrice de Hankel

Matrice définie à partir des sommes de puissances des racines d’un polynôme.

Matrices symétriques de produit nul

Pour

{A,B}

symétriques, caractérisation de

{AB\!=\!0}

par une égalité entre déterminants.

Approcher la décomposition polaire

Approcher le facteur orthogonal de la décomposition polaire par une suite matricielle.

Complément de Schur et positivité

Avec le complément de Schur, quand une matrice symétrique par blocs est-elle positive?

Inégalité sur le déterminant

On établit une inégalité sur le déterminant, puis on relie déterminant et trace.

Équation de Lyapunov

Sous l’hypothèse

{-(A+A^T)>0}

, résoudre

{AX+XA^T=BB^T}

.

Étude d’une involution S de M_n(ℝ)

Étude d’une involution

{S}

de

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

telle que

{S(AB)=S(B)S(A)}

Descente de gradient à pas optimal

Minimiser une fonction quadratique par descente de gradient à pas optimal.

Décomposition en valeurs singulières

Décomposition de

{A\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})}

en

{A=U\Sigma V^T}

, avec

{U,V}

orthogonales.

Approcher la valeur propre dominante

Itérer

{x\mapsto Ax/\|Ax\|}

pour approcher la valeur propre dominante de

{A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}

.

Puissances d’une matrice symétrique

Étude de la suite des puissances d’une matrice symétrique à coefficients

{>0}

.

Une équation de Schrödinger

Une équation de Schrödinger périodique. Comparaisons aux normes

{L^2}

et

{L^4}

.

Quadrature de Gauss

Une formule d’intégration exacte au degré

{2n-1}

et à poids positifs.