Majoration optimale d’une intégrale
(Oral Centrale) On majore la valeur absolue de l’intégrale de {f} sur {[0,1}, où {f} décrit l’espace des fonctions de classe {\mathcal{C}^2} sur {[0,1]} et telles que {f(0)=f(1)=f'(1)=0}.
Dérivabilité 2
Une comparaison de moyennes
(Oral Centrale) On étudie et on compare une famille (dépendant d’un paramètre {p}) de fonctions qui réalisent une moyenne de deux réels strictement positifs.
Zéros d’un polynôme de Maclaurin
(Orale Centrale). On étudie les premières racines réelles strictement positives du polynôme de Maclaurin de la fonction sinus.
Racines de dérivées n-ièmes
(Oral Centrale) On étudie les racines des dérivées {n}-ièmes des fonctions définies par {f(x)=exp(1/(1-x^2))} et {g(x)=exp(1/(1+x^2))}.
Un exercice Rock’n’Rolle
(Oral Tpe)
Soit {P\in\mathbb{R}[X]}.
On suppose que {K=\{x\in\mathbb{R},\;P(x)=\cos x\}} est infini.
Montrer que {P} est constant.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]}.
On suppose que {K=\{x\in\mathbb{R},\;P(x)=\cos x\}} est infini.
Montrer que {P} est constant.
Une équation intégrale
(Oral Mines-Ponts)
On considère l’équation d’inconnue {f\in C^{0}(\mathbb{R}^{+})} :{(E) :\forall\,x\geq0,\;x^{2}f(x)=2\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t}
Montrer que toute solution {f} est {C^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Déterminer toutes les solutions de {(E)}.
On considère l’équation d’inconnue {f\in C^{0}(\mathbb{R}^{+})} :{(E) :\forall\,x\geq0,\;x^{2}f(x)=2\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)\mathrm{d}t}
Montrer que toute solution {f} est {C^{\infty}} sur {\mathbb{R}^{+*}}.
Déterminer toutes les solutions de {(E)}.
Une équation fonctionnelle
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Déterminer les {f\in\mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que :
{\forall\,(x,y)\in\mathbb{R}^2,\;f(x+y)=e^x \, f(y)+ e^y \, f(x)}.
Deux encadrements
(oral Mines-Ponts)
Montrer que {\forall\, x}, {y\in \mathbb{R}^{+*}}, {\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}.
Montrer que {\forall\, x}, {y\in \mathbb{R}^{+*}}, {\Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{y}\lt \text{e}^{x}\lt \Big(1+\dfrac{x}{y}\Big)^{x+y}}.
Théorème de Darboux
Soit {f} une application dérivable sur {[a,b]}.
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b).\quad}
Montrer que {f'} prend toutes les valeurs comprises entre {f'(a)} et {f'(b).\quad}