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Cours de première année Mpsi/Pcsi

Coefficients de Bézout

Soient {m,n} dans {\mathbb{N}^*}, avec {m\wedge n=1}.
Il existe une infinité de {(u,v)\in\mathbb{Z}^2} tel que {um+vn=1}.
Il existe en particulier un couple {(u,v)} unique tel que {\left|u\right|\le n/2} et {\left|v\right|\le m/2}.
L’objet de cet article est de programmer deux méthodes (l’une itérative, l’autre récursive) de calcul des deux entiers u et v.

Le problème des n reines

Le problème des huit reines est bien connu.
On se propose ici de programmer avec Python (et de visualiser avec le package turtle) la recherche des solutions au problème plus général des n reines (placées sur un échiquier n×n de telle sorte qu’aucune d’elle ne soit en prise avec une autre).

Le parcours du cavalier

On demande de programmer et visualiser (en Python, avec le package turtle) le parcours d’un cavalier sur un échiquier. À partir d’une position initiale du cavalier, on s’attachera à décrire des trajectoires explorant la totalité de l’échiquier en passant une fois et une seule sur chaque case (voir l’article de Wikipedia). On pourra généraliser à des échiquiers de tailles différentes et/ou modifiés pour rendre certaines de leurs cases inaccessibles.

Le gâteau

On voit ici une application des équations différentielles à un problème de la vie quotidienne. Il s’agit de servir un gâteau à nos invités à une heure précise, mais celui-ci doit être à la bonne température. Facile si on connaît la loi de Newton.