Suites récurrentes

Soient {a_0,b_0>0} et {a_{n+1}=\frac{a_n+3b_n}4,\quad b_{n+1}=\frac{\sqrt{a_nb_n}+b_n}2}Les questions [P] utilisent Python.

1. (a) [P] Écrire suite(a0,b0,n) renvoyant {[a_n,b_n]}.

1. (b) En déduire une conjecture sur le comportement des deux suites.

2. (a) Factoriser {a_{n+1}-b_{n+1}}.

2. (b) Montrer que les suites, à partir du rang {1}, sont adjacentes et que {a_n-b_n=O(4^{-n})}. On note {M(a_0,b_0)} leur limite et {B(x)=M(1,x)} pour {x>0}.

2. (c) [P] Tracer le graphe de {B} sur {]0,5]} à l’aide de 1 (a).

3. (a) Pour {\lambda>0}, comparer {M(\lambda a_0,\lambda b_0)} et {M(a_0,b_0)}.

3. (b) En déduire, pour {x>0}, {B(x)=\frac{1+3x}4B\left(\frac{2(\sqrt x+x)}{1+3x}\right)}

On définit {x_0=x>0} et {x_{n+1}=f(x_n)}, avec {f(t)=2(\sqrt t+t)/(1+3t)}.

4. (a) Étudier {(x_n)} selon la valeur initiale {x}.

4. (b) Pour {x_0\in]0,1[}, posons {\varepsilon_n=1-x_n}. Étudier {\varepsilon_{n+1}/\varepsilon_n^2}, puis montrer que {\varepsilon_n=O(k^n)} pour tout {k\in]0,1[}.

5. (a) Montrer que {B} est continue.

5. (b) Montrer que {B(x)=\prod_{n=0}^{+\infty}\frac{1+3x_n}4}Le produit désigne la limite des produits partiels.