Les questions [P] utilisent Python. Pour {n\ge1}, on pose
{H_n=\sum_{k=1}^n\frac1k,\quad S_n=\frac\pi{2n}\sum_{k=1}^n\frac1{\sin(k\pi/(2n))}}
1. (a) [P] Écrire
H(n) et S(n). Que donnent H(10000) et S(10000) ?1. (b) [P] Vérifier numériquement que {S_n\sim H_n} et conjecturer la nature de {(H_n-S_n)}.
2. (a) Montrer qu’il existe {\gamma,\lambda\in\mathbb R} telles que {H_n=\log n+\gamma+\lambda/n+o(1/n)}.
2. (b) [P] Vérifier ces résultats et donner une valeur approchée de {\gamma}.
3. (a) Soit {f\in C^2(I)} et {u,v\in I}. Montrer qu’il existe {\zeta} entre {u} et {v} tel que
{\begin{array}{rl}\displaystyle\int_u^vf(t)\,dt=&(v-u)f(u)+\dfrac{(v-u)^2}2f'(u)\\[4pt]&+\dfrac{(v-u)^3}6f''(\zeta)\end{array}}
{\begin{array}{rl}\displaystyle\int_u^vf(t)\,dt=&(v-u)f(u)+\dfrac{(v-u)^2}2f'(u)\\[4pt]&+\dfrac{(v-u)^3}6f''(\zeta)\end{array}}
3. (b) En déduire, pour {f\in C^2([a,b])},
{\begin{array}{l}\dfrac{b-a}n\displaystyle\sum_{k=1}^nf\left(a+k\dfrac{b-a}n\right)\\[4pt]=\displaystyle\int_a^bf(t)\,dt+\dfrac{b-a}{2n}(f(b)-f(a))+o(1/n)\end{array}}
{\begin{array}{l}\dfrac{b-a}n\displaystyle\sum_{k=1}^nf\left(a+k\dfrac{b-a}n\right)\\[4pt]=\displaystyle\int_a^bf(t)\,dt+\dfrac{b-a}{2n}(f(b)-f(a))+o(1/n)\end{array}}
4. Pour {g(x)=1/\sin x-1/x}, [P] tracer le graphe sur {]0,\pi/2]}. Montrer que {g} se prolonge en une fonction {\widetilde g\in C^\infty([0,\pi/2])}, préciser {\widetilde g(0)} et {\widetilde g'(0)}, puis calculer son intégrale.
5. Donner un développement asymptotique de {S_n} à trois termes.
6. [P] Vérifier les résultats obtenus.
Complément proposé dans le corrigé
Complément. Déterminer le terme suivant du développement de {H_n}.