Les questions [P] utilisent Python.
1. [P] On considère les matrices
{A=\begin{pmatrix}10&6&12&-15&9\\[4pt]9&1&9&-9&0\\[4pt]-6&0&-8&6&0\\[4pt]12&6&12&-17&9\\[4pt]12&0&12&-12&4\end{pmatrix}}et
{B=\begin{pmatrix}0&0&-1&1&-1\\[4pt]1&0&0&-1&0\\[4pt]3&1&3&-4&1\\[4pt]3&1&2&-3&0\\[4pt]1&1&1&-1&0\end{pmatrix}}Calculer {C_k=AB^k-B^kA} pour {1\le k\le5}. Déterminer les éléments propres de {A}, en normalisant les vecteurs propres par leur première coordonnée. Montrer que {B} est nilpotente et préciser son indice.
{A=\begin{pmatrix}10&6&12&-15&9\\[4pt]9&1&9&-9&0\\[4pt]-6&0&-8&6&0\\[4pt]12&6&12&-17&9\\[4pt]12&0&12&-12&4\end{pmatrix}}et
{B=\begin{pmatrix}0&0&-1&1&-1\\[4pt]1&0&0&-1&0\\[4pt]3&1&3&-4&1\\[4pt]3&1&2&-3&0\\[4pt]1&1&1&-1&0\end{pmatrix}}Calculer {C_k=AB^k-B^kA} pour {1\le k\le5}. Déterminer les éléments propres de {A}, en normalisant les vecteurs propres par leur première coordonnée. Montrer que {B} est nilpotente et préciser son indice.
Soit {E} un espace vectoriel complexe de dimension {n\ge2} et {u,v,w\in\mathcal L(E)}. Dans la question 2, on suppose {uv-vu=\lambda v}, avec {\lambda\ne0}.
2. (a) Calculer {uv^k-v^ku} pour {k\in\mathbb N}. En déduire {uP(v)-P(v)u} pour {P\in\mathbb C[X]}.
2. (b) En déduire que {v} est nilpotent.
2. (c) On suppose {\dim\ker v=1}. Montrer qu’il existe {\mu\in\mathbb C} et une base {(e_1,\ldots,e_n)} telle que {v(e_1)=0}, {v(e_i)=e_{i-1}} pour {i\ge2}, et {u(e_i)=(\mu-\lambda(i-1))e_i}.
On suppose maintenant {uv-vu=2v}, {uw-wu=-2w}, {vw-wv=u} et {\dim\ker v=1}. On prend la base précédente avec {\lambda=2}.
3. (a) Montrer que {\mu=n-1}.
3. (b) Montrer que {w(e_n)=0} et {w(e_i)=i(n-i)e_{i+1}} pour {1\le i\lt n}.
Indications Python
np.linalg.matrix_power calcule les puissances. np.linalg.eig renvoie les valeurs propres et les vecteurs propres en colonnes. L’expression P/P[0] normalise la première coordonnée de chaque colonne, si elle est non nulle.