Soit {n\geq1}. La matrice {M_n=(m_{ij})} est définie par {m_{ij}=\begin{cases}2&\text{si }i=j\lt n\\[4pt]1&\text{si }i=j=n\\[4pt]-1&\text{si }|i-j|=1\\[4pt]0&\text{sinon}\end{cases}}On définit également {B_n=(b_{ij})} par {b_{ij}=1} si {i\geq j}, et {0} sinon ; {S_n=(s_{ij})} par {s_{ij}=1} si {i=j+1}, et {0} sinon.
On note {P_n(X)=\det(XI_n-M_n)} et l’on convient que {P_0=1}. Les questions [P] utilisent Python.
1. (a) [P] Écrire les fonctions
M(n), B(n), S(n) renvoyant les matrices correspondantes. Les indices NumPy commencent à zéro.1. (b) Justifier {B_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}S_n^k} et {B_n^{-1}=I_n-S_n}.
1. (c) [P] Calculer {M_nB_nB_n^T} pour {2\leq n\leq5}. On admet que le résultat observé vaut pour tout {n\geq1}.
2. (a) Établir une relation entre {P_n}, {P_{n-1}} et {P_{n-2}} pour {n\geq2}.
2. (b) Établir, pour {\theta\notin\pi\mathbb Z}, la formule trigonométrique corrigée {P_n(4\sin^2(\theta/2))=(-1)^n\frac{\cos((n+\tfrac12)\theta)}{\cos(\theta/2)}}
2. (c) En déduire les valeurs propres de {M_n}.
On note {B=B_n}. Pour {A=(a_{ij})\in O_n(\mathbb R)}, on pose {f(A)=\operatorname{tr}(BA)=\sum\limits_{i\leq j}a_{ij}}. On cherche un équivalent de {s_n=\sup\{f(A):A\in O_n(\mathbb R)\}}.
3. (a) Montrer l’existence de {\Omega=(\omega_{ij})\in O_n(\mathbb R)} tel que {s_n=f(\Omega)}.
3. (b) Posons {\sigma_{ij}=\sum\limits_{k\leq i}\omega_{kj}} et notons {C_1,\ldots,C_n} les colonnes de {\Omega}. Pour {i\ne j}, remplacer {C_i,C_j} par {\begin{array}{l}D_i=(\cos t)C_i-(\sin t)C_j\\[4pt]D_j=(\sin t)C_i+(\cos t)C_j\end{array}}Les autres colonnes sont inchangées ; on obtient {T_t}. Montrer que {\sigma_{ij}=\sigma_{ji}}, puis que {B\Omega} est symétrique.
3. (c) Posons {N=B\Omega}. Calculer {N^2} à l’aide de la question 1 (c).
3. (d) Montrer que les valeurs propres de {N} sont positives, puis déterminer son spectre.
3. (e) Pour {r_n=\frac12\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{\sin(k\pi/(2(n+1)))}}, montrer que {r_n\sim n\ln n/\pi}.
3. (f) Déterminer un équivalent de {s_n} lorsque {n\to+\infty}.