On admet l’intégrale de Gauss {\int_0^{+\infty}e^{-t^2/2}\,dt=\sqrt{\pi/2}}. Pour {n\in\mathbb N}, on pose
{s_n=\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!},\quad u_n=e^{-n}s_n}On prend {0^0=1} dans cette somme. Les questions [P] utilisent Python.
1. [P] Écrire une fonction renvoyant les valeurs de {u_0} à {u_N}, tracer les points {(n,u_n)} et conjecturer le comportement de la suite.
2. (a) Démontrer, pour {n\ge1}, que
{s_n=e^n-\frac{n^n\sqrt n}{n!}\int_0^{\sqrt n}e^{x\sqrt n}\left(1-\frac{x}{\sqrt n}\right)^n\,dx}
{s_n=e^n-\frac{n^n\sqrt n}{n!}\int_0^{\sqrt n}e^{x\sqrt n}\left(1-\frac{x}{\sqrt n}\right)^n\,dx}
2. (b) Déterminer la limite de l’intégrale de la question précédente.
2. (c) En déduire la limite de {(u_n)}.
Pour {n\ge0}, soit {f_n(x)=e^{-x}\sum\limits_{k=0}^nx^k/k!}.
3. (a) Exprimer {u_n} et {u_{n-1}} à l’aide de {f_n} et de {f_n+f_n'}.
3. (b) En déduire la monotonie de {(u_n)}.
On lance un dé équilibré à {N\ge2} faces, numérotées de {1} à {N}, jusqu’à la première répétition. On note {X_N} le nombre de lancers nécessaires.
4. (a) [P] Écrire
retour(n,ne) simulant les tirages, avec au plus ne lancers, et renvoyant leur liste ainsi que le rang de la première répétition si elle se produit.4. (b) Préciser l’ensemble des valeurs de {X_N}.
4. (c) Montrer que {\mathbb E(X_N)=\sum\limits_{k=0}^N\mathbb P(X_N\gt k)} et calculer cette espérance.
4. (d) Trouver {A\gt0} et {\alpha\in\mathbb R} tels que {\mathbb E(X_N)\sim AN^\alpha}.
4. (e) Montrer qu’il existe une constante {\gamma} telle que
{\mathbb E(X_N(X_N-1))=\gamma\sum_{k=0}^Nk\mathbb P(X_N\gt k)}
{\mathbb E(X_N(X_N-1))=\gamma\sum_{k=0}^Nk\mathbb P(X_N\gt k)}
4. (f) En déduire la variance et un équivalent de la forme {BN^\beta}.