Théorème de Morley

En 1899, Frank Morley, alors professeur au Haverford College, découvrit le résultat suivant. Soient {A,B,C} trois points non alignés. Les trisectrices intérieures des angles du triangle se coupent deux à deux en {P,Q,R}, comme sur la figure. Le triangle {PQR} est équilatéral. Ce problème étudie plusieurs démonstrations de ce théorème.

Triangle de Morley et trisectrices

I. Les preuves d’Adolphe Letac (1939) et de Leon Bankoff (1962)

On pose {\widehat{BAC}=3\alpha}, {\widehat{CBA}=3\beta}, {\widehat{ACB}=3\gamma}, avec {0\lt\alpha,\beta,\gamma\lt\pi/3} et {\alpha+\beta+\gamma=\pi/3}. On note {a=BC}, {b=CA}, {c=AB} et {r} le rayon du cercle circonscrit.

Portrait de Frank Morley

I. 1. Justifier les égalités {a/\sin3\alpha=b/\sin3\beta=c/\sin3\gamma=2r}.

I. 2. Par une méthode analogue appliquée à {BPC}, montrer que
{\frac{BP}{\sin\gamma}=\frac{2r\sin3\alpha}{\sin(\pi/3-\alpha)}}

I. 3. Montrer que, pour tout {x},
{\sin3x=4\sin x\sin(\pi/3+x)\sin(\pi/3-x)}En déduire une nouvelle expression de {BP} en fonction de {r,\alpha,\gamma}. Par analogie, donner celle de {BR}.

I. 4. Soient {x,y,z\in\mathbb R} tels que {x+y+z=\pi}. Prouver
{\sin^2x+\sin^2y-2\sin x\sin y\cos z=\sin^2z}

I. 5. Développer {\|\overrightarrow{PR}\|^2=\|\overrightarrow{BR}-\overrightarrow{BP}\|^2}. En déduire {PR=8r\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma} et conclure.

La méthode de Leon Bankoff est une variante à partir de I.3. On pose {x=\pi/3+\gamma}, {y=\pi/3+\alpha}, {x'=\widehat{RPB}}, {y'=\widehat{BRP}}, avec {x',y'\in]0,\pi[}.

I. 6. (a) Observer que {BP\sin x=BR\sin y} et {BP\sin x'=BR\sin y'}.

I. 6. (b) Prouver {x'+y'=x+y} et en déduire {x'=x}, {y'=y}.

I. 6. (c) Par analogie, préciser {\widehat{CPQ}}. En déduire {\widehat{QPR}=\pi/3} et conclure.

II. La preuve de Donald J. Newman (1996)

On part d’un triangle équilatéral {P'Q'R'} de côté {a}. Soient {\alpha,\beta,\gamma\in]0,\pi/3[}, de somme {\pi/3}. On pose {x=\pi/3+\alpha}, {y=\pi/3+\beta}, {z=\pi/3+\gamma}.
À l’extérieur de {P'Q'R'}, on construit les triangles {P'C'Q'}, {Q'A'R'}, {R'B'P'} tels que
{\begin{array}{ll}\widehat{C'P'Q'}=y,&\widehat{P'Q'C'}=x\\[4pt]\widehat{A'Q'R'}=z,&\widehat{Q'R'A'}=y\\[4pt]\widehat{B'R'P'}=x,&\widehat{R'P'B'}=z\end{array}}

Construction de Newman

II. 1. Préciser les angles {\widehat{R'A'Q'}}, {\widehat{P'B'R'}} et {\widehat{Q'C'P'}}.

II. 2. Prouver {B'P'\sin\beta=a\sin x=C'P'\sin\gamma}.

II. 3. Montrer que {\widehat{B'P'C'}=\pi-\beta-\gamma}.

II. 4. En déduire {\widehat{C'B'P'}=\beta} et {\widehat{P'C'B'}=\gamma}.

II. 5. Conclure.

III. La preuve de Nikos Dergiades (1991)

On conserve {P'Q'R'}, {\alpha,\beta,\gamma}, et l’on pose {u=\pi/3-\alpha}, {v=\pi/3-\beta}, {w=\pi/3-\gamma}. Sur les côtés de {P'Q'R'}, vers l’extérieur, on construit les triangles isocèles {Q'UR'}, {R'VP'}, {P'WQ'}, d’angles à la base {u,v,w}.
On définit {A'=(VR')\cap(WQ')}, {B'=(UR')\cap(WP')}, {C'=(VP')\cap(UQ')}.

Construction de Dergiades

III. 1. Montrer que {(UP')} est la bissectrice intérieure issue de {U} dans {UB'C'}.

III. 2. Montrer que {\widehat{B'P'C'}=\frac12(\pi+\widehat{B'UC'})}.

III. 3. Soit {I} le centre du cercle inscrit à {UB'C'}. Montrer que {\widehat{B'IC'}=\frac12(\pi+\widehat{B'UC'})} et en déduire {P'=I}.

III. 4. Prouver que {(B'P')}, {(B'R')}, {(C'Q')}, {(C'P')}, {(A'R')}, {(A'Q')} sont les trisectrices intérieures de {A'B'C'}.

III. 5. Montrer que les angles de {A'B'C'} valent {3\alpha}, {3\beta}, {3\gamma}, et conclure.

IV. La preuve d’Alain Connes (1998)

On identifie le plan euclidien orienté à {\mathbb C}. On note {\widehat a=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})}, {\widehat b=(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})}, {\widehat c=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})}.
Soient {\rho_1,\rho_2,\rho_3} les rotations de centres {A,B,C} et d’angles {2\widehat a/3}, {2\widehat b/3}, {2\widehat c/3}. On écrit {\rho_i(z)=a_i z+b_i} et {\omega=a_1a_2a_3}. On note {j=e^{2i\pi/3}}.

IV. 1. Montrer que {\rho_1\circ\rho_2}, {\rho_2\circ\rho_3}, {\rho_3\circ\rho_1} sont des rotations de centres respectifs {R,P,Q}.

IV. 2. En déduire les affixes {p,q,r} de {P,Q,R} en fonction des {a_i,b_i}.

IV. 3. Par un argument géométrique, montrer que {\rho_1^3\circ\rho_2^3\circ\rho_3^3=\mathrm{Id}}.

IV. 4. En déduire {\omega\in\{j,j^2\}} et
{\begin{array}{l}(a_1^2+a_1+1)b_1+a_1^3(a_2^2+a_2+1)b_2\\[4pt]\quad+a_1^3a_2^3(a_3^2+a_3+1)b_3=0\end{array}}

IV. 5. On pose
{\begin{array}{l}E=-\omega a_1^2a_2(a_1-\omega)(a_2-\omega)\\[4pt]\quad\times(a_3-\omega)(p+\omega q+\omega^2r)\end{array}}En utilisant les expressions de {p,q,r} et {\omega\in\{j,j^2\}}, développer et simplifier pour obtenir {E=0}.

IV. 6. En déduire {p+\omega q+\omega^2r=0} et montrer que {PQR} est équilatéral.