Fractions continues

Notations

On note {\mathrm E(x)} la partie entière de tout réel {x}. On désigne par {S} l’ensemble des suites réelles {(a_n)_{n\geq1}} telles que {a_n>0} pour {n\geq2}. Pour une telle suite, on pose {[a_1,\ldots,a_n]=a_1+\cfrac1{a_2+\cfrac1{a_3+\cfrac1{\ddots+\cfrac1{a_n}}}}\tag{1}}En particulier, {[a_1]=a_1}, {[a_1,a_2]=a_1+1/a_2}, et {[a_1,a_2,a_3]=a_1+1/(a_2+1/a_3)}. Si les {a_k} sont rationnels, cette expression est rationnelle.

Les identités suivantes découlent de la définition : {[a_1,\ldots,a_n]=a_1+\frac1{[a_2,\ldots,a_n]}\quad(n\geq2)\tag{2}} {[a_1,\ldots,a_n]=\left[a_1,\ldots,a_{n-2},a_{n-1}+\frac1{a_n}\right]\tag{3}}Si {a_n>1}, on peut aussi écrire {[a_1,\ldots,a_n]=[a_1,\ldots,a_{n-1},a_n-1,1]\tag{4}}À une suite réelle {(a_n)}, on associe les suites {(p_n),(q_n)} définies par {\begin{array}{c}p_{-1}=0,\quad q_{-1}=1\\[4pt]p_0=1,\quad q_0=0\\[4pt]p_n=a_np_{n-1}+p_{n-2}\quad(n\geq1)\\[4pt]q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}\quad(n\geq1)\end{array}\tag{5}}En particulier, {p_1=a_1}, {q_1=1}, {p_2=a_2a_1+1}, {q_2=a_2}. Pour une suite de {S}, une récurrence à deux termes donne {q_n>0} pour {n\geq1}.

Partie I

Dans cette partie, {(a_n)} est un élément quelconque de {S}. On lui associe les suites {(p_n),(q_n)} par (5).

On va prouver, pour {n\geq1}, {[a_1,\ldots,a_n]=\frac{p_n}{q_n}\tag{6}}

1. (a) Vérifier (6) pour {n=1,2,3}.

1. (b) Fixons {n\geq1} et définissons {a'_k=a_k} pour {k\ne n}, {a'_n=a_n+1/a_{n+1}}. On associe à {(a'_k)} les suites {(p'_k),(q'_k)} comme en (5). Montrer {p'_n/q'_n=p_{n+1}/q_{n+1}}.

1. (c) Montrer que (6) est vraie pour tout {n\geq1}.

Établir les relations suivantes :

2. (a) Pour {n\geq0}, {p_{n+1}q_n-q_{n+1}p_n=(-1)^{n+1}}.

2. (b) Pour {n\geq1}, {[a_1,\ldots,a_{n+1}]=[a_1,\ldots,a_n]+\frac{(-1)^{n+1}}{q_nq_{n+1}}\tag{7}}

2. (c) Pour {n\geq2}, {[a_1,\ldots,a_n]=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{(-1)^{k+1}}{q_kq_{k+1}}\tag{8}}

Dans cette question, {n\geq2} et {t>0}.

3. (a) Par un raisonnement analogue à I.1(b), montrer {[a_1,\ldots,a_n,t]=\frac{tp_n+p_{n-1}}{tq_n+q_{n-1}}\tag{9}}

3. (b) En déduire {[a_1,\ldots,a_n,t]-\frac{p_n}{q_n}=\frac{(-1)^{n+1}}{q_n(tq_n+q_{n-1})}\tag{10}} {[a_1,\ldots,a_n,t]-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}=\frac{(-1)^nt}{q_{n-1}(tq_n+q_{n-1})}\tag{11}}

Partie II

Dans cette partie, {a_1\in\mathbb Z} et {a_n\in\mathbb N^*} pour {n\geq2}. On conserve {(p_n),(q_n)} et on pose {r_n=[a_1,\ldots,a_n]=p_n/q_n}.

1. (a) Montrer que {(p_n)} est une suite de {\mathbb Z}, et {(q_n)} une suite de {\mathbb N^*} strictement croissante à partir de {n=2}. Qu’en déduit-on sur sa limite ?

1. (b) Pour {n\geq1}, montrer que {p_n,q_n} sont premiers entre eux.

On va montrer que {(r_n)} converge vers un irrationnel.

2. (a) Montrer que {(r_{2n})} est strictement décroissante et {(r_{2n-1})} strictement croissante, en utilisant I.2(b).

2. (b) Montrer que {(r_n)} converge. On pose {\ell=\lim\limits_{n\to\infty}r_n}.

2. (c) Montrer, pour {n\geq1}, {0\lt\left|\ell-\frac{p_n}{q_n}\right|\lt\frac1{a_{n+1}q_n^2}\leq\frac1{q_n^2}}

2. (d) En déduire que {\ell} est irrationnel.

Partie III

Soit {x\in\mathbb R}. Posons {x_1=x} et {a_1=\mathrm E(x_1)}. Si {x_1=a_1}, on arrête. Sinon, {0\lt x_1-a_1\lt1}, et on pose {x_2=1/(x_1-a_1)>1}. Alors {x=[a_1,x_2]}, et on pose {a_2=\mathrm E(x_2)\geq1}.

Si {x_2=a_2}, on arrête avec {x=[a_1,a_2]}. Sinon, on pose {x_3=1/(x_2-a_2)>1}, ce qui donne {x=[a_1,a_2,x_3]}, et on poursuit.

En général, si {x_n} existe, on a {x=[a_1,\ldots,a_{n-1},x_n]} et on pose {a_n=\mathrm E(x_n)}. Si {x_n=a_n}, on arrête avec {x=[a_1,\ldots,a_n]}. Sinon, {x_{n+1}=\frac1{x_n-a_n}>1,\quad a_{n+1}=\mathrm E(x_{n+1})}et {x=[a_1,\ldots,a_n,x_{n+1}]}.

Ce procédé est le développement de {x} en fraction continue ; il peut être fini ou infini. Les {a_n} sont ses quotients partiels et {r_n=[a_1,\ldots,a_n]} sa {n}-ième réduite. Les suites {(p_n),(q_n)} sont définies par (5), aussi longtemps que les {a_n} existent, et {r_n=p_n/q_n}.

On va montrer que le développement est fini si et seulement si {x} est rationnel.

1. (a) Montrer que si le développement de {x} est fini, alors {x} est rationnel.

1. (b) Réciproquement, soit {x=m/d}, avec {m\in\mathbb Z} et {d\in\mathbb N^*}. Montrer que le développement est fini et que les {a_k} sont les quotients successifs de l’algorithme d’Euclide appliqué à {(m,d)}.

On calcule maintenant deux développements rationnels.

2. (a) Calculer les réduites et les quotients partiels de {x=256/117}.

2. (b) On définit ici Fibonacci par {F_0=F_1=1}, puis {F_n=F_{n-1}+F_{n-2}} pour {n\geq2}. Calculer les quotients partiels de {F_{15}/F_{14}}.

On étudie la qualité de l’approximation de {x} par ses réduites. On suppose l’existence des coefficients invoqués ; cela ne pose pas de difficulté si {x} est irrationnel, son développement étant alors infini.

3. (a) En utilisant I.3(b), montrer {x-r_n=\frac{(-1)^{n+1}}{q_n(x_{n+1}q_n+q_{n-1})}}En déduire que si {x} est irrationnel, {r_n\to x}.

3. (b) Pour {n\geq3}, montrer {|x-r_n|\lt|x-r_{n-1}|}, en utilisant à nouveau I.3(b).

3. (c) En utilisant {a_{n+1}\leq x_{n+1}\lt a_{n+1}+1}, montrer {\frac1{q_{n+1}q_{n+2}}\lt\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|\leq\frac1{q_nq_{n+1}}}En déduire à nouveau {|x-r_{n+1}|\lt|x-r_n|}.

3. (d) Pour {n\geq2}, montrer que {r_n} est une meilleure approximation de {x} parmi les rationnels de dénominateur au plus {q_n} : si {r=m/d} et {1\leq d\leq q_n}, alors {\left|x-\frac md\right|\geq\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|}Montrer d’abord que {r} ne peut être strictement compris entre {r_n} et {r_{n-1}}, puis conclure.

Partie IV

On reprend une suite infinie d’entiers, avec {a_1\in\mathbb Z} et {a_n\geq1} pour {n\geq2}, et les notations de la partie II. On note {[a_1,a_2,\ldots]} la limite des réduites.

Par exemple, {[1,2,3,4,\ldots]} a pour quotients partiels {a_n=n}. Lorsqu’ils sont périodiques à partir du rang {p+1}, de période {T}, on écrit {[a_1,\ldots,a_p,\overline{a_{p+1},\ldots,a_{p+T}}]}Ainsi {[1,4,\overline{3,2,5}]=[1,4,3,2,5,3,2,5,\ldots]}.

On calcule d’abord le début du développement de {\pi} et de {e}, avec la précision permise par une calculatrice.

1. (a) Avec {\pi\simeq3.14159265359}, trouver ses six premières réduites.

1. (b) Calculer les six premières réduites de {e\simeq2.71828182846}.

On vérifie quelques propriétés des développements illimités.

2. (a) Montrer {[a_1,a_2,\ldots]=a_1+1/[a_2,a_3,\ldots]}.

2. (b) Soit {x=[a_1,a_2,\ldots]} le développement d’un irrationnel obtenu dans la partie III. Soit {(b_n)} une suite d’entiers, avec {b_1\in\mathbb Z} et {b_n>0} pour {n\geq2}, telle que {[b_1,b_2,\ldots]=x}. Montrer {b_n=a_n} pour tout {n\geq1}.

2. (c) Pour {n\geq1}, prouver, en posant {t=[a_{n+1},a_{n+2},\ldots]}, {[a_1,a_2,\ldots]=\frac{tp_n+p_{n-1}}{tq_n+q_{n-1}}}

On calcule maintenant des développements périodiques simples.

3. (a) Calculer le développement du nombre d’or {\varphi=(1+\sqrt5)/2}.

3. (b) Calculer le développement de {\sqrt2}.

3. (c) Montrer {\sqrt7=[2,\overline{1,1,1,4}]}.

Pour tout {m\in\mathbb N^*}, montrer les développements suivants :

4. (a) {[m,\overline{2m}]=\sqrt{m^2+1}}.

4. (b) {[m,\overline{m,2m}]=\sqrt{m^2+2}}.

4. (c) {[m,\overline{2,2m}]=\sqrt{m^2+m}}.

Partie V

On considère les irrationnels dont le développement est périodique à partir d’un certain rang. Un irrationnel {x} est dit quadratique s’il s’écrit {x=r+s\sqrt\delta}, où {r,s\in\mathbb Q} et {\delta\in\mathbb N^*}.

1. Montrer qu’un irrationnel {x} est quadratique si et seulement s’il est solution de {ax^2+bx+c=0}, avec {(a,b,c)\in\mathbb Z^*\times\mathbb Z^2}.

2. Soit {x} irrationnel de développement purement périodique : {x=[\overline{a_1,\ldots,a_n}]}. Montrer que {x} est quadratique.

3. Montrer le même résultat si {x=[a_1,\ldots,a_n,\overline{a_{n+1},\ldots,a_{n+T}}]}.

4. Calculer {x=[3,2,\overline{3,5,1}]}.

5. On démontre (ce sera pour une prochaine fois) la réciproque : un irrationnel est quadratique si et seulement si son développement en fraction continue est périodique au moins à partir d’un certain rang. Cette caractérisation est le théorème de Lagrange. Ce dernier point est un résultat annoncé, sans démonstration demandée dans le sujet.