Accélération de convergence

On veut approcher {S=\sum_{n=1}^{\infty}u_n,\quad u_n=\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt n}}Pour {N\geq1}, on pose {S_N=\sum\limits_{n=1}^Nu_n} et {R_N=\sum\limits_{n=N+1}^\infty u_n}.

1. (a) Justifier l’existence de {S}, le signe de {R_N} et un majorant de {|R_N|}.

1. (b) Majorer l’erreur dans {S\approx S_N+u_{N+1}/2}. Combien faudrait-il de termes pour calculer {S} à {10^{-4}} près ?

Pour {n\geq1}, on note {u'_n=1/\sqrt{2n-1}-1/\sqrt{2n}}.

2. (a) Prouver, pour {n\to\infty} (l’expression étant définie pour {n\geq2}), {\frac1{\sqrt{n-1}}-\frac1{\sqrt n}\sim\frac1{2n\sqrt n}}

2. (b) En déduire la convergence de {\sum u'_n}.

2. (c) Montrer {S_{2N}=S'_N} et {R_{2N}=R'_N}, où {S'_N=\sum\limits_{n=1}^Nu'_n} et {R'_N=\sum\limits_{n=N+1}^\infty u'_n}.

3. (a) Montrer {u'_n\sim v_n-v_{n-1}}, avec {v_n=-1/(2\sqrt{2n})}.

3. (b) Pour {n\geq2}, on pose {w_n=u'_n-(v_n-v_{n-1})}. Justifier la convergence de {\sum w_n} et montrer {R'_N=\frac1{2\sqrt{2N}}+\sum_{n=N+1}^{\infty}w_n}

4. (a) Montrer {w_n=f(n)}, où {f} est croissante et négative.

4. (b) En déduire {F(n)-F(n-1)\leq w_n\leq F(n+1)-F(n)}, où {F(t)=\sqrt{2t-1}-\frac12\sqrt{2t}-\frac12\sqrt{2t-2}}

4. (c) Former le développement limité de {\sqrt{1+x}} en {0} à l’ordre {3}.

4. (d) Donner un équivalent de {F(t)} quand {t\to+\infty}.

5. (a) Montrer {-F(N)\leq\sum\limits_{n=N+1}^{\infty}w_n\leq-F(N+1)}.

5. (b) Montrer que {\Delta(t)=F(t)-F(t+1)} est décroissante et donner son équivalent à l’infini.

Les questions précédentes donnent {S=S_{2N}+\frac1{2\sqrt{2N}}+\sum_{n=N+1}^{\infty}w_n}On dispose ainsi de l’encadrement {\begin{array}{l}S_{2N}+\dfrac1{2\sqrt{2N}}-F(N)\leq S\\[4pt]S\leq S_{2N}+\dfrac1{2\sqrt{2N}}-F(N+1)\end{array}}Son amplitude décroît et tend vers {0} comme {N^{-5/2}}.

6. Montrer qu’il suffit de choisir {N=14} pour connaître {S} à {10^{-4}} près. Quel encadrement obtient-on ?