2026-Ens-MpD-Corrigé

Écoles normales supérieures — MP — 2026 — Mathématiques D

Approximations probabilistes

Pour {\lambda>0}, {Z_\lambda} suit la loi de Poisson de paramètre {\lambda} sur {\mathbb N}, avec {\mathbb P(Z_\lambda=n)=e^{-\lambda}\lambda^n/n!}. Toutes les variables considérées sont définies sur un même espace probabilisé.

L’espérance d’une variable positive est autorisée à valoir {+\infty}. Une variable {Y} appartient à {L^1} si {\mathbb E|Y|\lt +\infty}.

Partie préliminaire — Lois de Poisson et inégalités

(1) Calculer la fonction génératrice de {Z_\lambda}.
(2a) Pour {u,r>0}, montrer que {\mathbb P(Z_\lambda\geq r)\leq e^{-ur}\mathbb E(e^{uZ_\lambda})}.
(2b) Pour {r\geq\lambda}, montrer que {\mathbb P(Z_\lambda\geq r)\leq\exp(-r\ln r+r\ln\lambda+r-\lambda)}.
(2c) Pour {0\lt r\leq\lambda}, montrer que {\mathbb P(Z_\lambda\leq r)\leq\exp(-r\ln r+r\ln\lambda+r-\lambda)}.
(3) Montrer que {\ln(k!)\leq(k+1)\ln k-k+1} pour tout entier {k\geq1}.

1. Opérateur de Chen–Stein et approximation poissonienne

1.1. Opérateur de Chen–Stein

On fixe {\lambda>0} et on pose {L_\lambda f(n)=\lambda f(n+1)-nf(n)}. On note {\mathcal F} l’espace des fonctions bornées sur {\mathbb N}, muni de {\|f\|_\infty=\sup_n|f(n)|}.

L’espace {\mathcal G_\lambda} est constitué des fonctions telles que {f(Z_\lambda)\in L^1}, et on pose {\|f\|_{(\lambda)}=\mathbb E|f(Z_\lambda)|}.

(4a) Montrer que {\|\cdot\|_{(\lambda)}} est une norme sur {\mathcal G_\lambda}.
(4b) Montrer que {L_\lambda:\mathcal F\to\mathcal G_\lambda} est linéaire continue.
(4c) Si {f\in\mathcal F} et {X\in L^1} à valeurs dans {\mathbb N}, montrer que {L_\lambda f(X)\in L^1}.
(5a) Pour {X\in L^1} à valeurs dans {\mathbb N}, montrer que {X} suit la loi de Poisson de paramètre {\lambda} si et seulement si {\mathbb E(L_\lambda f(X))=0} pour toute {f\in\mathcal F}.
(5b) Si {g\in\mathcal F} et {\mathbb E(g(Z_\lambda))\ne0}, montrer qu’il n’existe pas de {f\in\mathcal F} telle que {L_\lambda f=g}.
(6) Montrer l’existence et l’unicité de {h_g} telle que {h_g(0)=0}, {L_\lambda h_g=g}, puis établir {h_g(k+1)=\frac{\sum_{j=0}^k\mathbb P(Z_\lambda=j)g(j)}{\lambda\mathbb P(Z_\lambda=k)}.}
(7) Si {g} est bornée et {\mathbb E(g(Z_\lambda))=0}, montrer que {\|h_g\|_\infty\leq e\|g\|_\infty}. Une autre borne numérique explicite est admise.
(8) Pour une variable {X} à valeurs dans {\mathbb N}, montrer que {\begin{array}{l}\sup_{A\subset\mathbb N}|\mathbb P(X\in A)-\mathbb P(Z_\lambda\in A)|\\[8pt]\quad\leq e\sup_{\substack{f\in\mathcal F\\[3pt]\|f\|_\infty\leq1}}\mathbb E(L_\lambda f(X))\end{array}}

1.2. Sommes de variables et approximation poissonienne

Soient {N\geq2} et {X_i} de lois de Bernoulli de paramètres {p_i\in]0,1[}. On pose {\begin{array}{rl}\lambda&=\displaystyle\sum_{i=1}^Np_i,\quad B_1=\sum_{i=1}^Np_i^2,\\[12pt]W&\displaystyle=\sum_{i=1}^NX_i,\quad W_i=W-X_i\end{array}}

1.2.1. Variables indépendantes

On suppose les {X_i} indépendantes et {f\in\mathcal F}.

(9a) Montrer que {\mathbb E(L_\lambda f(W))=\sum\limits_i p_i\mathbb E(f(W+1)-f(W_i+1))}
(9b) En déduire que la distance {\sup_A|\mathbb P(W\in A)-\mathbb P(Z_\lambda\in A)|} est au plus {2eB_1}
(10) Pour {Y_n} de loi binomiale {(n,\lambda/n)}, montrer que {|\mathbb P(Y_n=k)-e^{-\lambda}\lambda^k/k!|\leq2e\lambda^2/n}.

1.2.2. Variables dépendantes

L’énoncé définit {D_i=\{j\ne i:X_i,X_j\text{ ne sont pas indépendantes}\}}, puis {T_i=\sum\limits_{j\in D_i}X_j}, {S_i=W-T_i-X_i}, {p_{ij}=\mathbb E(X_iX_j)} et {B_2=\sum_i\sum_{j\in D_i}p_ip_j,\quad B_3=\sum_i\sum_{j\in D_i}p_{ij}.}

(11) Montrer que {\begin{array}{l}\mathbb E(L_\lambda f(W))=\\[8pt]\displaystyle\sum_i\bigl(p_i\mathbb E[f(W+1)-f(S_i+1)]\\[8pt]\quad-\mathbb E[X_i(f(S_i+T_i+1)-f(S_i+1))]\bigr)\end{array}}
(12) En déduire la borne {\begin{array}{l}\sup\limits_A|\mathbb P(W\!\in\! A)\!-\!\mathbb P(Z_\lambda\!\in\! A)|\!\leq\!2e(B_1\!+\!B_2\!+\!B_3)\end{array}}

2. Inégalités de concentration

2.1. Espérance conditionnelle

Soit {X} à valeurs dans un ensemble dénombrable borné {E\subset\mathbb R}, et {Y} à valeurs dans un ensemble dénombrable {F}. On pose {F_Y=\{y:\mathbb P(Y=y)>0\}}.

La variable {\mathbb E[X\mid Y]} est {\varphi(Y)}, où {\varphi(y)=\sum\limits_{x\in E}x\mathbb P(X=x\mid Y=y)} pour {y\in F_Y}, et {\varphi(y)=0} sinon.

(13a) Si {X\geq0} presque sûrement, montrer que {\mathbb E[X\mid Y]\geq0} presque sûrement.
(13b) Montrer que {\mathbb E[X\mid Y]\in L^1} et que son espérance vaut {\mathbb E(X)}.
(13c) Pour {g:E\to\mathbb R} bornée, montrer que {\mathbb E[g(X)\mid X]=g(X)} presque sûrement.
(13d) Pour {h:F\to\mathbb R} bornée, montrer que {\mathbb E[h(Y)X\mid Y]=h(Y)\mathbb E[X\mid Y]} presque sûrement.

On considère également une variable bornée {Z} à valeurs dénombrables. Les calculs conditionnels ci-dessous se font sur les valeurs de {Y} de probabilité positive.

(14a) Si {X,Y} sont indépendantes, montrer que {\mathbb E[X\mid Y]=\mathbb E(X)} presque sûrement.
(14b) Si {Z} est indépendante du couple {(X,Y)}, montrer que {\mathbb E[XZ\mid Y]=\mathbb E(Z)\mathbb E[X\mid Y]}.
(14c) Montrer que {\mathbb E[X+\lambda Z\mid Y]=\mathbb E[X\mid Y]+\lambda\mathbb E[Z\mid Y]} pour tout réel {\lambda}.

2.2. Un énoncé abstrait

Le couple {(W,W')} à valeurs dans {E^2}, avec {E} dénombrable, est échangeable : il a la même loi que {(W',W)}. Soit {F:E^2\to\mathbb R} bornée et antisymétrique, et soit {\varphi} définie par {\mathbb E[F(W,W')\mid W]=\varphi(W)}.

(15) Pour {h} bornée, montrer que {\begin{array}{l}\mathbb E[h(W)\varphi(W)]=\mathbb E[h(W)F(W,W')]\\[8pt]\quad=\dfrac12\mathbb E[(h(W)-h(W'))F(W,W')],\end{array}}puis que {\mathbb E\varphi(W)=0}.

On définit {\begin{array}{l}\Delta(W)=\dfrac12\mathbb E\bigl[|(\varphi(W)-\varphi(W'))F(W,W')|\mid W\bigr],\\[8pt]m(\theta)=\mathbb E(e^{\theta\varphi(W)}).\end{array}}On suppose qu’il existe {B,C\geq0} tels que {\Delta(W)\leq B\varphi(W)+C} presque sûrement.

(16a) Montrer que {m(\theta)} est finie et dérivable sur {\mathbb R}, avec {m'(\theta)=\frac12\mathbb E[(e^{\theta\varphi(W)}-e^{\theta\varphi(W')})F(W,W')].}
(16b) Montrer que {m'(\theta)\leq B\theta m'(\theta)+C\theta m(\theta)} pour {\theta\geq0}, puis que {\ln m(\theta)\leq C\theta^2/(2(1-B\theta))} pour {0\leq\theta\lt 1/B}.
(17) En prenant {\theta=t/(C+Bt)}, montrer que {\mathbb P(|\varphi(W)|\geq t)\leq2\exp(-t^2/(2C+2Bt))} pour {t\geq0}.

3. Applications

3.1. Sommes de variables indépendantes

Soient {X_1,\ldots,X_N} indépendantes, à valeurs dénombrables, avec {|X_i|\leq K}. On considère un vecteur {(X'_i)} indépendant de {(X_i)}, tel que chaque {X_i'} ait la même loi que {X_i}. La variable {I} est uniforme sur {\{1,\ldots,N\}} et indépendante de tous ces vecteurs.

On pose {\mu_i=\mathbb E X_i}, {\sigma_i^2=\operatorname{Var}(X_i)}, {S_N=\sum\limits_iX_i}, {S_N'=S_N-X_I+X'_I}. On fixe {c_i>0} tels que {|X_i-\mu_i|\leq c_i} presque sûrement.

(18a) Montrer que {(S_N,S_N')} est échangeable.
(18b) Montrer que {\mathbb E[X_I\mid S_N]=S_N/N} presque sûrement.
(19) Montrer que {\mathbb P(|S_N\!-\!\mathbb ES_N|\geq t)\leq2\exp\left(\!-\frac{t^2}{\sum_{i=1}^N(c_i^2\!+\!\sigma_i^2)}\!\right)}On pourra prendre {F(x,y)=N(x-y)}.
(20) Si {0\leq X_i\leq1}, montrer que {\mathbb P(|S_N-\mathbb ES_N|\geq t)\leq2\exp(-t^2/(2\mathbb ES_N+t))}.

3.2. Permutations aléatoires

La permutation {\pi_N} est uniforme sur {\mathfrak S_N}, et {I,J} sont uniformes sur {\{1,\ldots,N\}}, indépendants entre eux et de {\pi_N}. On pose {\pi_N'=\pi_N\circ(I,J)}, avec {(i,i)} égal à l’identité.

Pour des nombres {0\leq a_{ij}\leq1}, on pose {S_N=\sum\limits_{i=1}^Na_{i,\pi_N(i)}}.

(21) Montrer que {(\pi_N,\pi_N')} est échangeable.
(22a) Pour une permutation {\pi}, montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle\sum_{i,j=1}^N(a_{i,\pi(i)}+a_{j,\pi(j)}-a_{i,\pi(j)}-a_{j,\pi(i)})^2\\[8pt]\displaystyle\leq2\sum_{i,j=1}^N(a_{i,\pi(i)}+a_{j,\pi(j)}+a_{i,\pi(j)}+a_{j,\pi(i)}).\end{array}}
(22b) Montrer que {\mathbb P(|S_N-\mathbb ES_N|\geq t)\leq2\exp(-t^2/(4\mathbb ES_N+2t))}.
(23) Pour {2\leq k\leq N}, montrer que la probabilité d’au moins {k} points fixes est au plus {2e^{-k/12}}.

3.3. Magnétisation du modèle de Curie–Weiss

Soient {N\geq1}, {\beta\geq0} et {h\in\mathbb R}. Le vecteur {X\in\{-1,1\}^N} a pour loi {\mathbb P(X=\sigma)=\frac1{Z_N}\exp\left(\frac\beta N\sum_{i\lt j}\sigma_i\sigma_j+\beta h\sum_i\sigma_i\right),}où {Z_N} est la constante de normalisation. On pose {m(X)=N^{-1}\sum\limits_iX_i} et {m_i(X)=N^{-1}\sum\limits_{j\ne i}X_j}.

(24) Montrer que {\mathbb E[X_i\mid(X_j)_{j\ne i}]=\tanh(\beta m_i(X)+\beta h)}.

On choisit {I} uniforme et indépendant de {X}. Pour {j\ne I}, on pose {X_j'=X_j}, et on tire {X_I'} selon sa loi conditionnelle sachant les autres coordonnées : les poids de {1,-1} sont {e^a,e^{-a}}, où {a=\beta h+\beta m_I(X)}, normalisés par une constante {C}.

(25a) Calculer {C}.
(25b) Montrer que {(X,X')} est échangeable.
(26) Pour {F(\sigma,\sigma')=\sum\limits_i(\sigma_i-\sigma_i')}, calculer {\varphi} telle que {\mathbb E[F(X,X')\mid X]=\varphi(X)}.
(27) Montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle\Bigl|\frac1N\!\sum_i\tanh(\beta m_i(X)\!+\!\beta h)\\[8pt]\qquad\displaystyle-\tanh(\beta m(X)\!+\!\beta h)\Bigr|\leq\frac\beta N\end{array}}puis en déduire {\!\!\!\!\begin{array}{l}\mathbb P\left(|m(X)\!-\!\tanh(\beta m(X)\!+\!\beta h)|\geq\displaystyle\frac\beta N\!+\!\frac t{\sqrt N}\right)\\[8pt]\displaystyle\quad\displaystyle\leq2\exp\left(-\frac{t^2}{4(1+\beta)}\right)\end{array}}