2026-E3A-MpI-Corrigé

e3a–Polytech — MPI — 2026 — Mathématiques

Le sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1 — Questions préliminaires

Soit {n\geq2}.

1. Vérifier que {\varphi(t)=t^n} est convexe sur {]0,1[}.
2. Écrire l’inégalité de Jensen pour cette fonction.

Soit {p\geq2}, et {J\in\mathcal M_p(\mathbb R)} la matrice dont tous les coefficients valent {1}.

3.1. Déterminer un polynôme annulateur de {J} de degré deux.
3.2. En déduire les valeurs propres possibles de {I_p+J}.
3.3. Justifier que {I_p+J} est symétrique définie positive.

On fixe {n\geq2} et {r\geq3}. Une épreuve a {r} résultats possibles {\alpha_j}, de probabilités {x_j\in]0,1[}, avec {\sum\limits_jx_j=1}. On effectue {n} épreuves indépendantes.

La variable {X_j} vaut {1} si le résultat {\alpha_j} n’est jamais apparu, et {0} sinon. On note {X} le nombre de résultats qui ne sont pas apparus.

4.1. Déterminer la loi de {X_j}.
4.2. Exprimer {X} à l’aide des {X_j}.
4.3. Montrer que {\mathbb E(X)=\sum\limits_{j=1}^r(1-x_j)^n}.

On cherche les probabilités minimisant cette espérance. On élimine {x_r=1-\sum\limits_{j=1}^{r-1}x_j} et on pose {U=\left\{(x_1,\ldots,x_{r-1}):x_j>0,\ \sum_{j=1}^{r-1}x_j\lt 1\right\}.}

5.1. Représenter {U} dans le plan, c’est-à-dire lorsque {r=3}.
5.2. Justifier que {U} est ouvert et borné dans {\mathbb R^{r-1}}.
5.3. Déterminer {h:U\to\mathbb R} telle que {h(x_1,\ldots,x_{r-1})=\mathbb E(X)}.
5.4. Prouver que {h} est de classe {\mathcal C^2} sur {U}.
5.5.1. Déterminer la {j}-ième coordonnée du gradient de {h} au point {m\in U}.
5.5.2. Déterminer l’unique point critique {b} de {h} dans {U}.
5.6.1. Écrire la matrice hessienne de {h} en {b}.
5.6.2. Montrer que l’espérance a un minimum local pour {x_1=\cdots=x_r=1/r}.
5.6.3. À l’aide de la convexité de {\varphi}, montrer que l’espérance est minimale si et seulement si {x_1=\cdots=x_r=1/r}.

Exercice 2 — Questions de cours

1. Rappeler les réels {x} pour lesquels {\sum\limits_{n\geq1}n^{-x}} converge ; on note alors sa somme {\zeta(x)}.
2. Rappeler la somme et l’intervalle de convergence de {\sum\limits_{n\geq0}t^n}.

Pour {x\in\mathbb R\setminus\mathbb Z}, on définit, sous réserve d’existence, {E_1(x)=\frac1x+\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac1{x-n}+\frac1{x+n}\right),}et, pour {k\geq2}, {E_k(x)=\frac1{x^k}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(x-n)^k}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(x+n)^k}.}

3. Justifier l’existence de {E_1(x)} pour {x\notin\mathbb Z}.
4.1. Pour {k\geq2}, étudier les séries de termes {(x-n)^{-k}} et {(x+n)^{-k}}.
4.2. En déduire l’existence de {E_k(x)} pour {k\geq2}.
5.1. Pour tout {k\geq1}, montrer que {E_k} est {1}-périodique.
5.2. Étudier la parité de {E_k}.
6.1. Montrer que {E_k} est dérivable sur {\mathbb R\setminus\mathbb Z} et que {E_k'=-kE_{k+1}}.
6.2. En déduire que les {E_k} sont de classe {\mathcal C^\infty} et que {E_k=(-1)^{k-1}E_1^{(k-1)}/(k-1)!}.
7. Pour {|x|\lt 1} et {n\geq1}, étudier {\sum\limits_{k\geq0}x^k/n^{k+1}} et calculer sa somme.
8. Pour {|x|\lt 1}, établir {\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac1{n-x}-\frac1{n+x}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{s=1}^{+\infty}\frac{2x^{2s-1}}{n^{2s}}.}
9. Pour {0\lt |x|\lt 1}, montrer que {E_1(x)=1/x-2\sum\limits_{s=1}^{+\infty}\zeta(2s)x^{2s-1}}, en justifiant le théorème utilisé.
10. En déduire, pour {k\geq1} et {0\lt |x|\lt 1}, {E_k(x)=\frac1{x^k}+2(-1)^k\sum_{s=1}^{+\infty}\binom{2s-1}{k-1}\zeta(2s)x^{2s-k},}avec {\binom mp=0} lorsque {p>m}.

Exercice 3

Soit {n\geq3}, {\mathbb K=\mathbb R} ou {\mathbb C}, et {a_1\ne0}. On considère {M=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&a_1\\[8pt]\vdots&&\vdots&\vdots\\[8pt]0&\cdots&0&a_{n-1}\\[8pt]a_1&\cdots&a_{n-1}&a_n\end{pmatrix}.}

1. Cas réel

1.1. Justifier que {M} est diagonalisable.
1.2. Déterminer le rang de {M}.
1.3. Justifier que zéro est valeur propre et donner sa multiplicité.
1.4. Montrer que {M} possède deux valeurs propres non nulles, comptées avec multiplicité, notées {\lambda_1,\lambda_2}.
1.5. Donner une base de l’espace propre pour zéro.
1.6. Résoudre {MX=\lambda X} pour {\lambda\ne0} et montrer que {\lambda_1,\lambda_2} satisfont {\lambda^2-a_n\lambda-\sum\limits_{j=1}^{n-1}a_j^2=0}.
1.7. Déterminer une base de chacun des espaces propres pour {\lambda_1,\lambda_2}.
1.8. Expliciter {P} inversible telle que {P^{-1}MP} soit diagonale et préciser cette diagonale.

2. Cas complexe

2.1. Montrer que {M} n’est pas diagonalisable si et seulement si {\sum\limits_{j=1}^{n-1}a_j^2=0} ou {a_n^2+4\sum\limits_{j=1}^{n-1}a_j^2=0}.
2.2. Donner un exemple non diagonalisable pour {n=3}.