2025-Mines-Pc2-Corrigé

Mines–Ponts — 2025 — Mathématiques II — PC

Étude des séries congruo-harmoniques alternées

Pour {p,q\in\mathbb N^*} et {k\geq0}, on pose {u_k=u_{p,q;k}=(-1)^k/(pk+q)}. On note {S_{p,q}} la somme de cette série lorsqu’elle converge, et {\varphi_{p,q}(n)=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k/(pk+q)} ses sommes partielles.

On note {\lfloor x\rfloor} la partie entière de {x} et {p\mid q} la divisibilité de l’entier {q} par l’entier {p}.

Préliminaires

1. Justifier la convergence de {\sum\limits_k u_k} pour tous {p,q\geq1}.
2. Pour {p=q=1}, montrer {\varphi_{1,1}(n)=\int_0^1\frac{dt}{1+t}-\int_0^1\frac{(-t)^{n+1}}{1+t}\,dt.}
3. En déduire la valeur de {S_{1,1}}.
4. Pour {q\geq2}, montrer {S_{1,q}=(-1)^q(\varphi_{1,1}(q-2)-\ln2)}.

1. Expression intégrale de {S_{p,q}}

On fixe {p,q\geq1} et {\alpha_{p,q}=p/q>0}. Pour {t\geq0}, on définit {I_{p,q}(t)=\int_0^1\frac{x^{(t+1)\alpha_{p,q}}}{1+x^{\alpha_{p,q}}}\,dx.}

5. Montrer que {I_{p,q}} est bien définie et continue sur {\mathbb R_+}.
6. Déterminer {\lim\limits_{n\to+\infty}I_{p,q}(n)}.
7. Calculer {\sum\limits_{k=0}^n(-x^{\alpha_{p,q}})^k} pour {x\in[0,1]}, puis montrer {\varphi_{p,q}(n)=\frac1q\left(\int_0^1\frac{dx}{1+x^{\alpha_{p,q}}}+(-1)^nI_{p,q}(n)\right).}
8. Montrer {S_{p,q}=\int_0^1t^{q-1}/(1+t^p)\,dt}.

2. Calcul dans trois cas particuliers

On définit {E_1=\{(p,q):p=q\}}, {E_2=\{(p,q):p\lt q,\ p\mid q\}} et {E_3=\{(p,q):p>q\}}. On pose {F(X)=X^{q-1}/(1+X^p)}.

9. Pour {(p,q)\in E_1}, montrer {S_{p,q}=\ln2/p}.
10. Pour {(p,q)\in E_2}, déterminer {\lambda} tel que {S_{p,q}=\frac{(-1)^{\lambda-1}}p\left(\ln2-\sum_{k=1}^{\lambda-1}\frac{(-1)^{k-1}}k\right).\tag{F2}}

Dans la suite de cette partie, on fixe {(p,q)\in E_3}, donc {p>q\geq1}.

11. Montrer qu’il existe {a_0,b_0,\ldots,b_{\lfloor p/2\rfloor-1}} tels que {\begin{array}{rl}F(X)={}&\dfrac{1-(-1)^p}{2}\dfrac{a_0}{X+1}\\[8pt]&+\!\!\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor p/2\rfloor-1}\!\!\left(\dfrac{b_k}{X\!-\!\omega_{p,k}}\!+v\dfrac{\overline b_k}{X\!-\!\overline\omega_{p,k}}\right)\end{array}}Préciser {\omega_{p,k}} ; si {p} est pair, poser {a_0=0}.
12. Calculer {a_0} si {p} est impair et montrer {b_k=-e^{iq\theta_k}/p}.
13. En déduire la décomposition réelle {F(X)=\frac{1\!-\!(-1)^p}{2}\frac{(-1)^{q-1}}{p(X\!+\!1)}\!-\!\frac2p\sum_{k=0}^{\lfloor p/2\rfloor-1}F_k(X),}où {F_k(X)=\frac{\cos(q\theta_k)X-\cos((q-1)\theta_k)}{X^2-2\cos\theta_kX+1}.}

On admet la continuité des {F_k} sur {[0,1]} et la formule {\begin{array}{rl}\displaystyle\int_0^1F_k(t)\,dt={}&\cos(q\theta_k)\ln\left(2\sin\dfrac{\theta_k}2\right)\\[8pt]&-\dfrac\pi{2p}(p-1-2k)\sin(q\theta_k).\end{array}}

14. Montrer {\sum_{k=0}^{\lfloor p/2\rfloor-1}\cos(q\theta_k)=\begin{cases}0,&p\text{ pair},\\[8pt](-1)^{q+1}/2,&p\text{ impair}.\end{cases}}
15. En déduire, pour {(p,q)\in E_3}, {\begin{array}{rl}S_{p,q}=\dfrac1p\Bigl(&\!\!\!\dfrac\pi p\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor p/2\rfloor-1}(p-1-2k)\sin(q\theta_k)\\[8pt]&\!\!\!-2\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor p/2\rfloor-1}\cos(q\theta_k)\ln\left(\sin\dfrac{\theta_k}2\right)\Bigr).\end{array}\tag{F3}}
16. En déduire les valeurs exactes de {S_{2,1}} et {S_{3,1}}.

3. Quelques calculs de probabilités

On tire indépendamment, avec remise, deux entiers {p,q} uniformes sur {\{1,\ldots,n\}}. On note {E_n} l’événement {(p,q)\in E_1\cup E_2\cup E_3}, puis {A_n=\{p=q\}}, {B_n=\{q>p,\ p\mid q\}} et {C_n=\{p>q\}}.

17. Justifier que {A_n,B_n,C_n} forment une partition de {E_n}.
18. Calculer {\mathbb P(A_n)} et {\mathbb P(C_n)}.
19. Montrer {\mathbb P(B_n)=n^{-2}\sum\limits_{p=1}^n\lfloor n/p\rfloor-1/n}, puis calculer {\mathbb P(A_n\cup B_n)}.
20. En notant {H_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k}, montrer {H_n\sim\ln n} lorsque {n\to+\infty}.
21. Montrer {\mathbb P(A_n\cup B_n)\sim(\ln n)/n}.
22. En déduire {\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb P(E_n)}.

4. Vitesse de convergence

Pour une suite {u_n\to l}, avec {u_n\ne l} à partir d’un certain rang, on définit, si elle existe, {V=\lim\limits_{n\to\infty}|(u_{n+1}-l)/(u_n-l)|}. La convergence est dite supra-linéaire si {V=0}, linéaire si {0\lt V\lt 1} et infra-linéaire si {V=1}.

La vitesse d’une série est celle de ses sommes partielles. On pose {R_{p,q}(t)=I_{p,q}(t)/q}.

23. Par le changement de variable {s=x^{n+1}} dans {I_{p,q}(n)}, montrer {R_{p,q}(n)\sim1/(2pn)}.
24. En déduire la vitesse de convergence de la série congruo-harmonique alternée.