2025-E3a-Mpi-Corrigé

E3A-Polytech 2025 — Mathématiques — MPI

Le sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1

On définit sur {\mathbb R^n} la fonction {f(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits_{j=1}^ne^{x_j}}.

1. Étudier l’existence d’extrema locaux de {f}.
2. La fonction {f} est-elle majorée ?
3. Montrer que {f} admet une borne inférieure et la déterminer.

On pose {g(x_1,\ldots,x_n)=\sum\limits_{j=1}^nx_j} et {H=g^{-1}(\{0\})}.

4. Déterminer le seul extremum possible de la restriction de {f} à {H}.
5. Montrer que {e^t\geq1+t} pour tout {t\in\mathbb R}.
6. En déduire que {f} admet sous la contrainte {H} un minimum global, et le déterminer.

Exercice 2

Soit {n\geq3}. On note {E=\mathbb C_{n-1}[X]}, {A=X^n-1} et {B=X^n-X}.

Questions préliminaires

1. Énoncer le théorème de la division euclidienne pour les polynômes.
2. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de {A} par {B}. On pourra poser la division.
3. Déterminer le PGCD de {A} et {B}.
4. Décomposer {A} et {B} en produits de facteurs irréductibles dans {\mathbb C[X]}.

On note les racines de {B} : {z_1,\ldots,z_{n-1},z_n}, avec {z_n=0}.

Pour {P\in E}, on note {f(P)} le reste de la division euclidienne de {AP} par {B}.

5. Montrer que {f} est un endomorphisme de {E}.
6. Pour {0\leq k\leq n-2}, déterminer {f(X^k)} en posant la division euclidienne.
7. Déterminer de même {f(X^{n-1})}.
8. En déduire la matrice {M} de {f} dans la base canonique {(1,X,\ldots,X^{n-1})}.
9. Calculer la trace de {M}.

Étude du noyau et de l’image de {f}

10. Justifier que le rang de {M} est {n-1}.
11. Déterminer une base de {\operatorname{Im}f}.
12. Déterminer une base de {\ker f}.
13. Justifier que {\operatorname{Im}f=\{(X-1)P:P\in\mathbb C_{n-2}[X]\}}.
14. Montrer que {\ker f} et {\operatorname{Im}f} sont supplémentaires dans {E}.

Éléments propres de {f}

Pour {1\leq j\leq n}, on pose

{P_j=\frac B{X-z_j}=\prod_{k\ne j}(X-z_k),\quad R_j=f(P_j).}

15. Vérifier que {P_j(z_j)\ne0}.
16. Montrer que les racines de {P_j} sont racines de {R_j}.
17. En déduire qu’il existe un scalaire {\lambda_j} tel que {R_j=\lambda_jP_j}. Que peut-on dire de {P_j} ?
18. Montrer que {A(z_j)=\lambda_j}.
19. Exprimer {\lambda_j} à l’aide de {z_j} et préciser {\lambda_n}.
20. L’endomorphisme {f} est-il diagonalisable ?
21. Retrouver la trace de {f}.
22. Déterminer le polynôme caractéristique {\chi_f} sous forme développée.
23. En déduire le déterminant de l’endomorphisme induit par {f} sur {\operatorname{Im}f}.

Exercice 3

Questions préliminaires

1. Donner le développement en série entière de {t\mapsto1/(1-t)} et son domaine de validité.
2. Déterminer le rayon de convergence et la somme de {\sum\limits_{n\geq0}(n+1)t^n}.
3. Soient deux séries entières {\sum\limits_{n\geq0}a_nt^n} et {\sum\limits_{n\geq0}b_nt^n} définies sur {]-R,R[}, avec {R\gt0}. Pour leur produit de Cauchy {\sum\limits_{n\geq0}c_nt^n}, choisir sans justification la formule correcte :

(a) {c_n=\sum\limits_{p-q=n}a_pb_q} ; (b) {c_n=\sum\limits_{p-q\leq n}a_pb_q} ; (c) {c_n=\sum\limits_{p+q\leq n}a_pb_q} ; (d) {c_n=\sum\limits_{p+q=n}a_pb_q}.

4. Pour {f} continue sur {[a,b]}, rappeler sans démonstration la valeur de

{\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right).}

Pour tout réel {t}, sa partie entière vérifie {\lfloor t\rfloor\leq t\lt\lfloor t\rfloor+1}, ou encore {t-1\lt\lfloor t\rfloor\leq t}.

Pour {x\geq0}, on note

{\begin{array}{rl}E_x&=\{(a,b)\in\mathbb N^2:\sqrt{a^2+b^2}\leq x\},\\[8pt]G(x)&=\operatorname{Card}(E_x)\end{array}}Il s’agit des points à coordonnées entières positives au sens large dans le disque fermé de centre {O} et de rayon {x}.

5. Représenter graphiquement {E_2} et déterminer {G(2)}.
6. Avec le changement de variable {t=\sin u}, calculer {J=\int_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt}.
7. Montrer que, pour {n\geq1},

{G(n)=\sum_{k=0}^n\left(\left\lfloor\sqrt{n^2-k^2}\right\rfloor+1\right).}On pourra s’aider d’un dessin.

8. Montrer que

{\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\sqrt{1-\frac{k^2}{n^2}}=\frac\pi4.}

9. Pour {n\geq1}, on pose {S_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\sqrt{n^2-k^2}}. Montrer que {S_n\sim_{n\to+\infty}n^2\pi/4}.
10. En déduire un équivalent de {G(n)} lorsque {n\to+\infty}.
11. Déterminer un équivalent de {G(x)} lorsque {x\to+\infty}.
12. On définit {a_n=1} si {n} est le carré d’un entier, et {a_n=0} sinon.

Déterminer le rayon de convergence de {\sum\limits_{n\geq0}a_nt^n}, dont on note {h} la somme.

13. Pour {t\in I=]-1,1[}, on pose {g(t)=h(t)^2/(1-t)}. Montrer que

{g(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}G(\sqrt n)t^n.}

Un équivalent de {g}

14. Montrer que, pour tout {\varepsilon\gt0}, il existe {n_0\geq1} tel que, pour {n\geq n_0},

{\left|G(\sqrt n)-\frac\pi4(n+1)\right|\leq\varepsilon(n+1).}

15. En majorant {|g(t)-(\pi/4)\sum\limits_{n\geq0}(n+1)t^n|}, montrer que

{g(t)\underset{t\to1^-}{\sim}\frac\pi4(1-t)^{-2}.}