2025-E3a-Mp-Corrigé

E3A-Polytech 2025 — Mathématiques — MP

Le sujet comporte trois exercices indépendants.

Exercice 1

Sur {\mathbb R^4} muni du produit scalaire canonique, on définit {f(x,y,z,t)=x^2+y^2+z^2+t^2}. On cherche ses extrema sous la contrainte {H=\{(x,y,z,t):x+y=2\}} et les points où ils sont atteints.

Première méthode

1. Déterminer les extrema de {h(u,v,w)=2u^2+v^2+w^2-4u+4} sur {\mathbb R^3}.
2. Déterminer les solutions du problème posé.

Deuxième méthode

On pose {g(x,y,z,t)=x+y-2}.

3. En utilisant {g}, déterminer les extrema possibles de la restriction de {f} à {H}.
4. Retrouver les solutions du problème posé.

Troisième méthode

On pose {F=\{(x,y,z,t):x+y=0\}} et {Y=(-1,-1,0,0)}.

5. Montrer que {F} est un sous-espace vectoriel de {\mathbb R^4} et donner sa dimension.
6. Déterminer {F^\perp}.
7. Calculer la distance {d(Y,F)}.
8. Justifier que {X\in H} si et seulement si {X+Y\in F}.
9. En déduire la structure de {H}.
10. Retrouver de nouveau les solutions du problème posé.

Exercice 2

Soit {n\geq3}. On note {E_{n-1}=\mathbb C_{n-1}[X]}, de dimension {n}, et {\mathcal B=(Q_0,\ldots,Q_{n-1})} sa base canonique, avec {Q_k(X)=X^k}.

Pour {\alpha\in\mathbb C}, on définit l’endomorphisme

{\varphi_\alpha(P)=\frac1{\sqrt n}\sum_{q=0}^{n-1}P(\alpha^q)X^q,}et l’on note {A_\alpha} sa matrice dans {\mathcal B}. On pose {\omega=e^{2\mathrm i\pi/n}} ; ainsi {\omega^n=1} et {\overline\omega=\omega^{-1}}.

1. Déterminer, selon {m\in\mathbb Z}, la somme {\sigma_m=\sum\limits_{r=1}^n\omega^{m(r-1)}}.

On note {A_\omega=(a_{k\ell})_{1\leq k,\ell\leq n}}.

2. Écrire {A_\omega} pour {n=3}, en utilisant {j=e^{2\mathrm i\pi/3}}.
3. Montrer que {a_{k\ell}=\omega^{(k-1)(\ell-1)}/\sqrt n} pour tous {k,\ell\in\{1,\ldots,n\}}.
4. La matrice {A_\omega} est-elle symétrique ? Peut-on affirmer qu’elle est diagonalisable ?
5. Calculer {A_\omega A_{\overline\omega}}.

En déduire que {A_\omega} est inversible et déterminer son inverse.

6. Déterminer {\alpha\in\mathbb C} tel que {\varphi_\omega^{-1}=\varphi_\alpha}.
7. Calculer {A_\omega^2}, puis vérifier que {A_\omega^4=I_n}.
8. La matrice {A_\omega} est-elle diagonalisable ?

Éléments propres de {\varphi_\omega}

Pour {0\leq q\leq n-1}, on note

{L_q(X)=\frac{X^n-1}{X-\omega^q}.}En particulier, {L_0(X)=1+X+\cdots+X^{n-1}}.

9. Déterminer les valeurs propres possibles de {\varphi_\omega}.
10. Exprimer les {n} racines de {X^n-1} à l’aide de puissances de {\omega}.
11. En déduire que {L_q\in E_{n-1}} pour tout {q\in\{0,\ldots,n-1\}}.

On pose {H_0=\operatorname{Vect}(Q_0,L_0)} et l’on admet que {(Q_0,L_0)} en est une base.

12. Vérifier que {H_0} est stable par {\varphi_\omega}.
13. Écrire la matrice de l’endomorphisme induit sur {H_0} dans la base {(Q_0,L_0)}.
14. En déduire un vecteur non nul de {\ker(\varphi_\omega-\operatorname{Id})}, puis un vecteur non nul de {\ker(\varphi_\omega+\operatorname{Id})}.
15. Pour {n=3}, déterminer le spectre de {A_\omega}.
16. Pour {n=4}, déterminer les valeurs propres de {A_\omega}.
17. Déterminer les valeurs propres de la matrice

{M=\begin{pmatrix}0&0&\sqrt n/\omega&0\\[8pt]0&0&0&\sqrt n/\omega^{n-1}\\[8pt]0&\omega/\sqrt n&0&0\\[8pt]\omega^{n-1}/\sqrt n&0&0&0\end{pmatrix}.}

On suppose désormais {n\geq5}.

18. Montrer que {G=\operatorname{Vect}(Q_1,Q_{n-1},L_1,L_{n-1})} est de dimension {4} et stable par {\varphi_\omega}.
19. Déterminer le spectre de {\varphi_\omega}.

Exercice 3

Question de cours

1. Rappeler le développement en série entière de l’exponentielle et son domaine de validité.

On pose, lorsque cela est possible,

{f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{(n!)^2}.}

2. Montrer que {f} est définie sur {\mathbb R}.
3. Justifier que {f} est de classe {\mathcal C^\infty} sur {\mathbb R}.
4. Montrer que {f} est lipschitzienne sur tout segment {[a,b]\subset\mathbb R}.
5. Prouver que {f'(x)\leq e^x} pour tout {x\geq0}.
6. Pour {x,y\geq0}, on pose {z=\max(x,y)}. Montrer que {|f(x)-f(y)|\leq e^z|x-y|}.
7. Prouver que {f(x)-1\sim_{x\to0}x}.

Pour {x\gt0}, on pose

{g(x)=\int_1^x\frac{dt}{t[f(t)]^2}.}

8. Justifier que {g} est de classe {\mathcal C^\infty} sur {]0,+\infty[}.
9. Étudier le signe de {g} sur {]0,+\infty[}.
10. Montrer que {g(x)\sim_{x\to0^+}\ln x}.
11. Prouver que {f(t)\gt1+t} pour tout {t\gt0}.
12. En déduire que {g} possède une limite finie lorsque {x\to+\infty}.
13. Décomposer en éléments simples {F(X)=1/(X(1+X)^2)}.
14. Montrer que, pour {x\gt1},

{g(x)\leq\ln\left(\frac x{x+1}\right)+\frac1{x+1}+\ln2-\frac12.}

15. En déduire que {g} est majorée par {\ln2} sur {]0,+\infty[}.