2022-E3a-Mp1-Corrigé

Exercice 1

1. Pour tout réel {x}, lorsque l’intégrale existe, on pose {\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt.}

1.1. Déterminer l’ensemble de définition {\Delta} de {\Gamma}.
1.2. Démontrer que, pour tout {x\in\Delta}, {\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)}.
1.3. On admet que {\Gamma(1/2)=\sqrt\pi}. Calculer {\Gamma(n+1/2)} pour {n\in\mathbb N}, à l’aide de factorielles.

2. Pour {n\in\mathbb N}, on pose {I_n=\int_0^{+\infty}t^{2n}e^{-t^2}\,dt}.

2.1. Justifier l’existence de {I_n}.
2.2. En utilisant la question 1, calculer {I_n}.

3. Pour tout réel {x}, lorsque cela est possible, on pose {H(x)=\int_0^{+\infty}\cos(xt)e^{-t^2}\,dt.}

3.1. Donner le développement en série entière de {\cos} au voisinage de zéro et préciser son domaine de validité.
3.2. Justifier que {H} est définie sur {\mathbb R} et l’exprimer à l’aide de fonctions usuelles. Citer les théorèmes utilisés et vérifier leurs hypothèses.

4. On retrouve ce résultat par une autre méthode.

4.1. Démontrer que {H} est de classe {C^1} sur {\mathbb R}.
4.2. Montrer que {H} est solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre.
4.3. Retrouver l’expression de {H} obtenue en 3.2.

Exercice 2

1. Questions de cours.

1.1. Soit {f} continue sur {[a,b]}. Donner, sans démonstration, la limite de {\frac{b-a}{n}\sum_{r=0}^{n-1}f\left(a+r\frac{b-a}{n}\right).}
1.2. Pour {m\in\mathbb N}, déterminer {\lim_{n\to+\infty}\frac1n\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac jn\right)^m.}
1.3. Donner, sans démonstration, l’espérance d’une variable aléatoire uniforme sur {\{1,\ldots,n\}}.

Soient {k,n\in\mathbb N^*}. On dispose de {k} urnes contenant chacune {n} boules numérotées de {1} à {n}. On tire une boule au hasard de chaque urne, indépendamment des autres tirages. On note {X_n} le plus grand numéro obtenu.

2. Donner l’ensemble {J} des valeurs prises par {X_n}.
3. Pour {j\in J}, évaluer {\mathbb P(X_n\le j)} et prouver que {\mathbb P(X_n=j)=\frac{j^k-(j-1)^k}{n^k}.}
4. Démontrer que {\mathbb E(X_n)=\sum\limits_{j=0}^{n-1}\mathbb P(X_n>j)}.
5. Calculer {\mathbb E(X_n)} et en donner un équivalent lorsque {n\to+\infty}.
6. Pour {k=1}, reconnaître la loi de {X_n} et vérifier la cohérence du résultat précédent.

Exercice 3

Soit {E} un espace euclidien, de produit scalaire {(\cdot\mid\cdot)} et de norme {\|\cdot\|}.

1. Questions de cours.

1.1. Démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz {|(x\mid y)|\le\|x\|\|y\|}. On pourra utiliser {t\mapsto\|x+ty\|^2}.
1.2. Démontrer que l’égalité a lieu si et seulement si {x} et {y} sont colinéaires.
1.3. Dans {M_{n,1}(\mathbb R)} muni du produit scalaire {X^{\mathsf T}Y}, écrire cette inégalité pour {X=(1,\ldots,1)^{\mathsf T}} et {Y=(y_1,\ldots,y_n)^{\mathsf T}}.

On identifie désormais {\mathbb R^n} à {M_{n,1}(\mathbb R)}.

Partie 1

On suppose {n\ge2} et l’on pose {B=\{X:\|X\|\le1\}}. Pour {X=(x_1,\ldots,x_n)^{\mathsf T}}, on définit {F(X)=\sum_{\substack{1\le i,j\le n\\[8pt]i\ne j}}x_ix_j.}Par exemple, pour {n=3}, {F(X)=2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)}.

2. Exprimer {F(X)} à l’aide de {S_1(n)=\sum\limits_{i=1}^nx_i} et {S_2(n)=\sum\limits_{i=1}^nx_i^2}.
3. Montrer que {F} possède sur {B} un maximum, noté {M}.
4. Montrer, en utilisant la question 1, que {M=n-1}.
5. Déterminer tous les {X\in\mathbb R^n} tels que {F(X)=M}.

Partie 2

On note {\mathcal B=(e_1,\ldots,e_n)} la base canonique orthonormale. Pour {X,Y} de coordonnées {x_i,y_i}, on pose {\begin{array}{l}\displaystyle \varphi(X,Y)\\[8pt]\displaystyle \quad=\frac12\sum_{\substack{1\le i,j\le n\\[8pt]i\ne j}}(x_iy_j+x_jy_i).\end{array}}Pour {n=3}, cette expression est la somme des six termes {x_iy_j} d’indices distincts.

6. Exprimer {F(X)} à l’aide de {\varphi}.
7. Écrire la matrice {A=(a_{ij})} définie par {a_{ij}=\varphi(e_i,e_j)}.
8. Justifier l’existence d’une base orthonormale {\mathcal U=(u_1,\ldots,u_n)} constituée de vecteurs propres de {A}.
9. Vérifier que {\varphi(X,Y)=Y^{\mathsf T}AX=X^{\mathsf T}AY}.

10. Soit {J} la matrice dont tous les coefficients valent {1}.

10.1. Déterminer les valeurs propres de {J}.
10.2. En déduire une matrice diagonale {\Delta} semblable à {A}.
11. Exprimer {\varphi(X,Y)} en fonction des coordonnées de {X} et {Y} dans {\mathcal U}.
12. Retrouver le résultat établi en 4.

Exercice 4

Questions préliminaires

Pour {n\ge2}, on pose {\omega=e^{2i\pi/n}}.

1. Pour {z\in\mathbb C^*}, démontrer que {|z|=1} si et seulement si {\overline z=1/z}.
2. Pour {0\le k\le n-1}, déterminer {r\in\{0,\ldots,n-1\}} tel que {\overline{\omega^k}=\omega^r}.
3. Calculer {S_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega^k} et {P_n=\prod\limits_{k=0}^{n-1}\omega^k}.

4. On considère {P(X)=\sum\limits_{k=1}^nkX^{k-1}}.

4.1. Montrer que, pour {x\in\mathbb R\setminus\{1\}}, {P(x)=\frac{nx^{n+1}-(n+1)x^n+1}{(x-1)^2}.}
4.2. Montrer que {P(\omega^k)=n/(\omega^k-1)} pour {1\le k\le n-1}.
4.3. En factorisant {X^n-1} dans {\mathbb C[X]}, montrer que {\prod\limits_{k=1}^{n-1}(1-\omega^k)=n}.

On suppose désormais {n\ge4}. On considère {F=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\[8pt]0&0&1&\ddots&\vdots\\[8pt]\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\[8pt]0&\cdots&0&0&1\\[8pt]1&0&\cdots&0&0\end{pmatrix},\quad A=P(F).}

5. Réduction de {F}

5.1. Donner, sans démonstration, {F^k} pour {2\le k\le n-2}, puis {F^{n-1}} et {F^n}. On pourra étudier le cas {n=4} ou l’endomorphisme associé.
5.2. Soit {G_F=\operatorname{Vect}(F^k:k\in\mathbb N)}. Montrer que {\dim G_F=n} et en donner une base.
5.3. Démontrer que {X^n-1} est le polynôme minimal de {F}.
5.4. Justifier que {F} est diagonalisable sur {\mathbb C} et donner une matrice diagonale {D} semblable à {F}.

6. Réduction de {A}

6.1. Expliciter la matrice {A}.
6.2. Déterminer une matrice diagonale {\Delta} semblable à {A}.
6.3. Déterminer le degré du polynôme minimal de {A}. En déduire que {(I_n,A,\ldots,A^{n-1})} est libre.
7. Calculer {\det A} et justifier que {A} est inversible.
8. Soit {G_A=\operatorname{Vect}(A^k:k\in\mathbb N)}. Vérifier que {A^{-1}\in G_A}.
9. Montrer que {G_A=G_F}.
10. Vérifier que {A(F-I_n)^2=n(F-I_n)}.
11. Déterminer une expression de {A^{-1}} à l’aide des puissances de {F}.