2022-Centrale-Mp2-Corrigé

Centrale-Supélec 2022 — MP — Mathématiques 2

Durée : quatre heures. Calculatrice autorisée.

Objectifs et notations

On étudie la dérivation des sommes de séries de fonctions, d’abord dans un cadre déterministe, puis pour des séries aléatoires. Le contrôle des dérivées intermédiaires est remplacé par des hypothèses sur les valeurs des fonctions en un nombre fini de points.

La partie I établit une inégalité d’interpolation, utilisée en II pour un théorème de dérivation. La partie III, indépendante, étudie les séries de Rademacher. La partie IV combine ces résultats.

L’entier {K} est strictement positif. On note {\mathbb R_{K-1}[X]} les polynômes réels de degré au plus {K-1}, et {\mathcal C^K(I)} les fonctions réelles de classe {\mathcal C^K} sur {I}. On convient que {f^{(0)}=f}. Sur {[0,1]}, {\|f\|_\infty=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|}.

I — Inégalités d’interpolation des dérivées

Pour {K} points distincts {x_1\lt \cdots\lt x_K} de {[0,1]}, on veut montrer l’existence de {C>0}, ne dépendant que de ces points, telle que, pour toute {f\in\mathcal C^K([0,1])}, {\begin{array}{l}\displaystyle \max_{0\leq k\lt K}\|f^{(k)}\|_\infty\\[8pt]\displaystyle \quad\leq\|f^{(K)}\|_\infty+C\sum_{\ell=1}^K|f(x_\ell)|.\end{array}\tag{I.1}}I.A — Cas K = 1

On fixe {x_1\in[0,1]} et l’on considère l’inégalité {\|f\|_\infty\leq\|f'\|_\infty+C|f(x_1)|.\tag{I.2}}

Q 1. Montrer (I.2) avec {C=1}.
Q 2. Pour {C\in]0,1[}, donner un exemple simple montrant que (I.2) est fausse.

I.B — Cas K = 2

On fixe {x_1\lt x_2} dans {[0,1]}. On veut montrer, pour toute {f\in\mathcal C^2([0,1])}, {\begin{array}{l}\displaystyle \max(\|f\|_\infty,\|f'\|_\infty)\\[8pt]\displaystyle \quad\leq\|f''\|_\infty+C(|f(x_1)|+|f(x_2)|).\end{array}\tag{I.3}}

Q 3. Pour {x\in[0,1]}, montrer que {\begin{array}{l}\displaystyle \left|f'(x)-\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\right|\\[8pt]\displaystyle \quad\leq\|f''\|_\infty.\end{array}}
Q 4. En déduire {\begin{array}{l}\displaystyle \|f'\|_\infty\\[8pt]\displaystyle \quad\leq\|f''\|_\infty+\frac{|f(x_1)|+|f(x_2)|}{x_2-x_1}.\end{array}}
Q 5. Conclure (I.3) avec {C=1+1/(x_2-x_1)}.

I.C — Cas général par interpolation de Lagrange

On revient à {K\geq1} et aux points distincts {x_1,\ldots,x_K}.

Q 6. Montrer que {\Psi:\mathbb R_{K-1}[X]\to\mathbb R^K}, {P\mapsto(P(x_1),\ldots,P(x_K))}, est un isomorphisme.
Q 7. Montrer qu’il existe {L_1,\ldots,L_K\in\mathbb R_{K-1}[X]} tels que, pour toute {f\in\mathcal C^K([0,1])}, le polynôme {P=\sum\limits_{j=1}^Kf(x_j)L_j} vérifie {P(x_\ell)=f(x_\ell)} pour {1\leq\ell\leq K}.

Dans Q8 et Q9, on fixe {f\in\mathcal C^K([0,1])} et son polynôme interpolateur {P} donné par Q7.

Q 8. Pour {0\leq k\leq K-1}, montrer que {f^{(k)}-P^{(k)}} s’annule en au moins {K-k} points distincts de {[0,1]}.
Q 9. En déduire, pour {0\leq k\leq K-1}, {\begin{array}{l}\displaystyle \|f^{(k)}-P^{(k)}\|_\infty\\[8pt]\displaystyle \quad\leq\|f^{(k+1)}-P^{(k+1)}\|_\infty.\end{array}}
Q 10. Montrer qu’il existe {C>0} pour laquelle (I.1) est vérifiée.

II — Dérivation Cᴷ pour les séries de fonctions

II.A — Énoncé général

Soient {a\lt b}, {K} points distincts {x_1\lt \cdots\lt x_K} de {[a,b]}, et {(f_n)} une suite de fonctions réelles de classe {\mathcal C^K} sur ce segment.

On suppose (H1) que {\sum f_n^{(K)}} converge normalement, et (H2) que chacune des séries {\sum f_n(x_\ell)} converge absolument.

Q 11. Dans le cas {[a,b]=[0,1]}, justifier la convergence normale de {\sum f_n^{(k)}} pour tout {0\leq k\lt K}.
Q 12. Traiter le cas général {[a,b]}. On pourra examiner {f_n\circ\sigma}, où {\sigma(t)=(1-t)a+tb}.

On peut ainsi poser {F_k(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}f_n^{(k)}(x)} pour {0\leq k\leq K} et {x\in[a,b]}.

Q 13. Montrer que {F_0} est de classe {\mathcal C^K} et que {F_0^{(k)}=F_k} pour {1\leq k\leq K}.

II.B — Application sur un exemple

Les dérivées intermédiaires de l’exemple suivant ne s’expriment pas à l’aide des fonctions usuelles.

Q 14. Pour {n\geq1}, montrer qu’il existe une unique {f_n\in\mathcal C^2(]0,+\infty[)} telle que {\begin{array}{l}\displaystyle f_n(1)=f_n(2)=0,\quad f_n''(x)\\[8pt]\displaystyle \quad=(-1)^n2^{-nx^2}.\end{array}}
Q 15. Montrer que {\sum f_n} converge normalement sur tout segment de {]0,+\infty[} et que sa somme {F} est de classe {\mathcal C^2} sur cet intervalle.
Q 16. Expliciter {F''(x)}.
Q 17. Montrer que {|F(x)|\leq1/3} pour {x\in[1,2]}.

III — Convergence d’une série aléatoire de Rademacher

Les variables {(X_n)_{n\geq0}} sont mutuellement indépendantes et vérifient {\mathbb P(X_n=1)=\mathbb P(X_n=-1)=1/2}. La suite réelle {(a_n)} satisfait {\sum a_n^2\lt +\infty}.

On pose {S_N=\sum\limits_{n=0}^NX_na_n}. Pour une suite strictement croissante d’entiers {\phi(j)}, on définit {\begin{array}{l}A_j=\{|S_{\phi(j+1)}-S_{\phi(j)}|>2^{-j}\},\\[8pt]B_j=\left\{\max_{\phi(j)\lt n\leq\phi(j+1)}|S_n-S_{\phi(j)}|>2^{-j}\right\}.\end{array}}Pour {\phi(j)\lt m\leq\phi(j+1)}, l’événement {B_{j,m}} signifie que {m} est le premier indice de ce bloc où le seuil est dépassé : {\begin{array}{l}|S_m-S_{\phi(j)}|>2^{-j},\\[8pt]|S_n-S_{\phi(j)}|\leq2^{-j}\quad(\phi(j)\leq n\lt m).\end{array}}III.A — Construction de φ et majoration de P(Aⱼ)

Q 18. Justifier l’existence d’une suite strictement croissante {(\phi(j))} telle que {\sum_{n>\phi(j)}a_n^2\leq8^{-j}\quad(j\geq0).}

On fixe désormais une telle suite {(\phi(j))}.

Q 19. Exprimer l’espérance et la variance de {S_{\phi(j+1)}-S_{\phi(j)}}.
Q 20. En déduire {\mathbb P(A_j)\leq2^{-j}}.

III.B — Inégalité maximale de Lévy

On veut établir {\mathbb P(B_j)\leq2\mathbb P(A_j)}.

Q 21. Montrer que les événements {B_{j,m}} sont deux à deux disjoints et que {B_j=\bigcup_{m=\phi(j)+1}^{\phi(j+1)}B_{j,m}.}
Q 22. En déduire {\begin{array}{l}\displaystyle \mathbb P(A_j)\\[8pt]\displaystyle \quad=\sum_{m=\phi(j)+1}^{\phi(j+1)}\mathbb P(A_j\cap B_{j,m}).\end{array}}
Q 23. Pour {\phi(j)\lt m\leq\phi(j+1)}, montrer que la fonction {\alpha\longmapsto2^{\phi(j+1)-\phi(j)}\mathbb P(E_{j,m}(\alpha))}est à valeurs dans {\mathbb N} et paire, où {\begin{array}{l}E_{j,m}(\alpha)=B_{j,m}\cap\{|\alpha R+D|>2^{-j}\},\\[8pt]R=S_{\phi(j+1)}-S_m,\quad D=S_m-S_{\phi(j)}.\end{array}}
Q 24. Montrer que, si {B_j} se réalise, il existe {m} dans le bloc et {\alpha\in\{-1,1\}} tels que {E_{j,m}(\alpha)} se réalise. On pourra exprimer {D} à l’aide de {D+R} et {D-R}.
Q 25. En déduire l’inégalité maximale {\mathbb P(B_j)\leq2\mathbb P(A_j)}.

III.C — Convergence de la série aléatoire

Q 26. On pose {B=\bigcap_{J\geq0}\bigcup_{j\geq J}B_j}. Montrer que {\mathbb P(B)=0}.
Q 27. Montrer qu’avec probabilité {1}, il existe {J} tel que, pour tout {j\geq J} et tout {\phi(j)\lt n\leq\phi(j+1)}, {|S_n-S_{\phi(j)}|\leq2^{-j}.}
Q 28. En déduire que {(S_{\phi(j)})_{j\geq0}} converge avec probabilité {1}. On pourra examiner la série de ses accroissements en valeur absolue.
Q 29. Conclure que la série {\sum X_na_n} converge avec probabilité {1}.

IV — Dérivation Cᴷ pour des séries aléatoires de fonctions

On fixe {K\geq1}, des variables de Rademacher indépendantes {(X_n)}, des points distincts {x_1\lt \cdots\lt x_K} de {[0,1]} et des fonctions réelles {f_n\in\mathcal C^K([0,1])}.

On suppose (H1) que {\sum f_n^{(K)}} converge normalement, et (H2′) que {\sum\limits_n f_n(x_\ell)^2} converge pour chaque {\ell}.

Q 30. Montrer que l’une des hypothèses (H2′) et (H2) implique l’autre.
Q 31. Montrer qu’avec probabilité {1}, toutes les séries {\sum\limits_nX_nf_n(x_\ell)}, pour {1\leq\ell\leq K}, convergent.
Q 32. Soit {P_n\in\mathbb R_{K-1}[X]} tel que {P_n(x_\ell)=f_n(x_\ell)} pour tout {\ell}. Montrer qu’avec probabilité {1}, pour tous {0\leq k\leq K}, les séries {\sum X_n(f_n-P_n)^{(k)}} convergent uniformément, leur somme d’ordre {0} est de classe {\mathcal C^K}, et {\begin{array}{l}\displaystyle \left(\sum_{n=0}^{+\infty}X_n(f_n-P_n)\right)^{(k)}\\[8pt]\displaystyle \quad=\sum_{n=0}^{+\infty}X_n(f_n-P_n)^{(k)}.\end{array}}
Q 33. Montrer qu’avec probabilité {1}, pour tous {0\leq k\leq K}, les séries {\sum X_nf_n^{(k)}} convergent uniformément, leur somme d’ordre {0} est de classe {\mathcal C^K}, et {\left(\sum_{n=0}^{+\infty}X_nf_n\right)^{(k)}=\sum_{n=0}^{+\infty}X_nf_n^{(k)}.}
Q 34. Donner un entier {K\geq1} pour lequel le résultat précédent s’applique à {f_0=0} et {\begin{array}{l}\displaystyle f_n(x)\\[8pt]\displaystyle \quad=\ln(1+\sin(x/n))\quad(n\geq1,\ x\in[0,1]).\end{array}}