2023-E3a-Psi-Corrigé

E3A — PSI — 2023

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.

Exercice 1

Soit {n} un entier naturel non nul. Dans un espace probabilisé {(\Omega,\mathcal A,P)}, les variables aléatoires {X} et {Y} prennent leurs valeurs dans {\{1,\ldots,n+1\}}.
On suppose qu’il existe {\alpha\in\mathbb R} tel que, pour tous {i,j} de cet ensemble,
{p_{ij}=P([X=i]\cap[Y=j])=\alpha\binom n{i-1}\binom n{j-1}.}

1. Déterminer la valeur du réel {\alpha}.
2. Déterminer les lois des variables aléatoires {X} et {Y}.
3. Les deux variables aléatoires {X} et {Y} sont-elles indépendantes ?
4. Reconnaître la loi de la variable aléatoire {Z=X-1}. En déduire l’espérance et la variance de {X}.
5. On note {B\in\mathcal M_{n+1}(\mathbb R)} la matrice de coefficients {b_{ij}=P_{[X=j]}([Y=i])}. Calculer les {b_{ij}}.
6. Déterminer {\operatorname{rg}(B)} et les sous-espaces vectoriels {\operatorname{Im}(B)} et {\operatorname{Ker}(B)}.
7. Déterminer {C\in\mathcal M_{n+1,1}(\mathbb R)} et {L\in\mathcal M_{1,n+1}(\mathbb R)} telles que {B=CL}.
8. Démontrer que {B^2=\operatorname{tr}(B)B}.
9. Déterminer les valeurs propres de {B}. La matrice {B} est-elle diagonalisable ?

Exercice 2

Questions de cours

1. Soit {n\in\mathbb N}. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne dans {\mathbb R[X]} de {X^{n+1}-1} par {X-1}.
2. Donner, sans justification, la somme de la série entière {\sum\limits_{n\ge0}x^n} ainsi que son ensemble de définition.

3. Étude d’une suite

3.1. Montrer que l’intégrale {\int_0^1\frac{1-t}{1-t^{n+1}}\,dt} converge pour tout {n\in\mathbb N^*}.
3.2. On pose, pour {n\ge1},
{u_n=\int_0^1\frac{dt}{1+t+\cdots+t^n}.}Démontrer que {(u_n)} converge vers un réel {\ell} à déterminer. Vérifier soigneusement les hypothèses du théorème utilisé.

4. Étude de la série de terme général {u_n-\ell}

4.1. Soit {n\in\mathbb N^*}. Pour {p\ge1} et {t\in[0,1]}, on pose {g_p(t)=(1-t)t^{p(n+1)}}. Démontrer que {\sum\limits_{p\ge1}g_p} converge simplement sur {[0,1]} et déterminer sa somme.
4.2. Calculer {\int_0^1g_p(t)\,dt} et en donner un équivalent lorsque {p\to+\infty}.
4.3. En utilisant la série précédente, démontrer que, pour tout {n\in\mathbb N^*},
{u_n-\ell=\sum_{p=1}^{+\infty}\frac1{((n+1)p+2)((n+1)p+1)}.}
4.4. Pour {p\ge1}, on pose
{h_p(t)=\frac{t^2}{((t+1)p+2)((t+1)p+1)}.}Démontrer que {\sum\limits_{p\ge1}h_p} converge normalement sur {\mathbb R_+}.
4.5. En déduire, au voisinage de {+\infty},
{u_n=\ell+\frac{\pi^2}{6n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right).}On admet {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}1/n^2=\pi^2/6}.

Exercice 3

Soit {p\ge3}. Pour {M\in\mathcal M_p(\mathbb R)}, on note {M^\top} sa transposée. On rappelle {(MN)^\top=N^\top M^\top}.
L’espace {E=\mathbb R^p} est muni du produit scalaire canonique {(X\mid Y)=X^\top Y} et de la norme {\|X\|=\sqrt{X^\top X}}.
Pour un entier {n\ge-1}, une matrice {A} est dite de type {n} lorsque {A^\top=A^n}.

1. Quelques exemples

1.1. Déterminer l’ensemble des matrices de type {0}.
1.2. Déterminer l’ensemble des matrices de type {1}.
1.3. Déterminer l’ensemble des matrices de type {-1}. En donner un exemple différent de l’identité lorsque {p=4}.

On suppose désormais {n\ge2}.
2. Dans cette question seulement, {p=3} et, pour {\theta\in\mathbb R},
{A(\theta)=\begin{pmatrix}1&0&0\\[8pt]0&\cos\theta&-\sin\theta\\[8pt]0&\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}.}

2.1. Démontrer que, pour tout {m\in\mathbb N}, {A(\theta)^m=A(m\theta)}.
2.2. Déterminer l’ensemble des réels {\theta} tels que {A(\theta)} soit de type {n}.

On revient au cas général {p\ge3}.
3. Soit {A\in\mathcal M_p(\mathbb R)} de type {n}.

3.1. Établir l’égalité {A^{n^2}=A}.

3.2. On note {B=A^{n+1}}.

3.2.1. Montrer que {B^n=B}.
3.2.2. Démontrer que {B} est symétrique.
3.2.3. Prouver que les valeurs propres de {B} sont positives ou nulles. On pourra examiner {X^\top BX} pour un vecteur bien choisi.
3.2.4. Déterminer les valeurs propres de {B} lorsque {B} n’est ni nulle ni égale à l’identité.
3.2.5. Prouver que {B} est une matrice de projection orthogonale. Préciser ses éléments caractéristiques.
3.3. Prouver que {\operatorname{Ker}(B)=\operatorname{Ker}(A)}.
3.4. Démontrer que {\operatorname{Im}(A)=\operatorname{Im}(B)}.
3.5. Prouver que {\operatorname{Im}(A)} et {\operatorname{Ker}(A)} sont supplémentaires orthogonaux.
3.6. Démontrer que, pour tout {X\in\operatorname{Im}(A)}, {\|AX\|=\|X\|}.
3.7. Prouver que, si {A} est de plus inversible, alors {A} est aussi de type {-1}.
4. Prouver que, si {A} est à la fois de type {n} et de type {n+1}, alors {A} est une matrice de projecteur orthogonal.

Exercice 4

Dans tout l’exercice, {i} désigne le nombre complexe usuel vérifiant {i^2=-1}.
Questions de cours

1. Pour tout {\theta\in\mathbb R}, donner le module et un argument de {e^{i\theta}}.
2. Pour tout {n\in\mathbb N} et tout {t\in\mathbb R}, démontrer que {\sin(n\pi+t)=(-1)^n\sin t}.

3. Soit {(a_n)_{n\in\mathbb N}} une suite réelle décroissante de limite nulle.

3.1. Justifier que {\sum\limits_{n\ge0}(-1)^na_n} converge.
3.2. Pour {p\in\mathbb N}, justifier que {\sum\limits_{n\ge p}(-1)^na_n} converge. On note sa somme {T_p}.
3.3. Justifier que {(T_p)} converge et donner sa limite.
3.4. Rappeler le signe de {T_p} suivant les valeurs de {p}.
4. Soit {f:\mathbb R\to\mathbb R} continue. Justifier que {x\mapsto\int_0^{\sqrt x}f(t)\,dt} est de classe {C^1} sur {\mathbb R_+^*} et de dérivée {x\mapsto f(\sqrt x)/(2\sqrt x)}. On admet le résultat pour {f} continue à valeurs complexes.

5. On définit sur {\mathbb R} la fonction à valeurs complexes
{F(x)=\int_0^1\frac{e^{ix(1+t^2)}}{1+t^2}\,dt.}On rappelle que, pour une fonction réelle dérivable {\varphi}, la dérivée de {e^{i\varphi(x)}} est {i\varphi'(x)e^{i\varphi(x)}}.

5.1. Démontrer que {F} est de classe {C^1} sur {\mathbb R}. Vérifier les hypothèses du théorème utilisé.
5.2. Démontrer que, pour tout {x\gt0},
{F'(x)=\frac{ie^{ix}}{\sqrt x}\int_0^{\sqrt x}e^{iu^2}\,du.}

6. Convergence d’intégrales

6.1. Montrer que les intégrales {\int_0^\pi\sin(u)/\sqrt u\,du} et {\int_0^\pi\cos(u)/\sqrt u\,du} convergent.
6.2. En effectuant une intégration par parties, montrer que {\int_\pi^{+\infty}e^{iu}/\sqrt u\,du} converge.
6.3. En déduire que {\int_0^{+\infty}e^{iu}/\sqrt u\,du} converge.
6.4. Prouver que {\int_0^{+\infty}e^{iv^2}\,dv} converge. On pourra effectuer un changement de variable.

7. Pour {n\in\mathbb N}, on pose
{w_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin u}{\sqrt u}\,du.}

7.1. Montrer que {w_n} existe pour tout {n\in\mathbb N}.
7.2. On pose {\alpha_n=(-1)^nw_n}. Prouver que {\alpha_n} est strictement positif. On pourra poser {t=u-n\pi}.
7.3. Prouver que {(\alpha_n)} est décroissante.
7.4. Prouver que {\sum\limits_{n\ge0}w_n} converge et préciser le signe de sa somme. On pourra utiliser les questions de cours.
7.5. Démontrer que
{\sum_{n=0}^{+\infty}w_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin u}{\sqrt u}\,du.}
8. Montrer que, pour tout {x\ge0},
{F(x)=\frac\pi4+i\left(\int_0^{\sqrt x}e^{iu^2}\,du\right)^2.}
9. On admet {\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=0}. En déduire que
{\begin{array}{rl}\displaystyle\int_0^{+\infty}\cos(x^2)\,dx&\displaystyle=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2},\\[8pt]\displaystyle\int_0^{+\infty}\sin(x^2)\,dx&\displaystyle=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt2}.\end{array}}On pourra utiliser la question 6.